Сходимость суммы

[orventro]

Нужно доказать/опровергнуть следующее утверждение: Если сумма $\sum\limits_{k=1}^{\infty}\frac{a_k}{a_1+a_2+\dots+a_{k-1}}$ сходится, то сумма $\sum\limits_{k=1}^{\infty}a_k$ тоже сходится ( $a_k$ - положительные числа). Пробовал несколько функций, но все несходящиеся вторые суммы давали несходящуюся первую сумму, и в обратную сторону тоже ничего не получилось. Еще пробовал заменить суммирование на интегрирование и подобрать и решить диффур, чтоб найти противоречащую функцию. Какие признаки сходимости последовательности здесь можно применить? Или все-таки можно контрпример найти?

[DeBill]

orventro
Для рядов с положительными членами это верно.
Рассуждать можно, типа, так.
Пусть $S_n$ - частичная сумма второго ряда, тогда эта посл-ть - возрастает.
Пусть $S_n=q_n\cdot S_{n-1},$ тогда $q_n =1 + \alpha_n$ с положительными $\alpha_n$. Выразите первый ряд через альфы, это что-то даст. Ну, а сходимость второго равносильна сходимости некоего бесконечного произведения, и для таких вещей тоже есть критерий сходимости...

(Оффтоп)

Если таких вещей - бесконечных произведений - в курсе не было - не беда: посчитайте логарифм его, и воспользуйтесь эквивалентностью $\ln (1+x) \sim x$ при $x\to 0$

Для незнакопостоянных - не знаю, но как то кажется сомнительным....

[DeBill]

Ну вот Вам еще доп. вопрос: верно ли, что если ряд $\sum\limits_{n}^{}\alpha_n$ сходится, то и ряд $\sum\limits_{n}^{} \ln (1+\alpha_n)$ сходится? (незнакопостоянные ряды).

[iifat]

Ну, как минимум, есть очевидный контрпример $\sum\limits_n-\frac{100}{2^n}$. Задача таки требует уточнения.

[DeBill]

iifat в сообщении #1429147 писал(а):

Задача таки требует уточнения.

Ну, я полагал, что - не требует.
Но пусть так...
Уточнение: всё - определено....