Базис векторного пространства полиномов степени не выше m

[Sdy]

Прошу проверить мое доказательство следующего утверждения:
Утверждение.
$P(F)$ - векторное пространство всех полиномов над полем $F$.
Пусть $p_0,...,p_m \in P(F) : deg(p_j)=j \forall j$. Доказать, что тогда $(p_0,...,p_m)$ является базисом $P_m(F)$.
Доказательство.
Размерность пространства $P_m(F)$ равна $m+1$, векторов в кортеже $(p_0,...,p_m)$ также $m+1$, поэтому мне просто нужно показать, что они линейно независимы и тогда они являются и базисом $P_m(F)$.
Пусть $p_0 = b_0^0, p_1 = b_1^1x+b_1^0, p_m = \sum\limits_{i=0}^{m}b_m^{m-i}x^{m-i}$, где $b_i^j$ это коэффициент у монома $j$-ой степени, $i$-го полинома.
Рассмотрим равенство их линейной комбинации нулю. Два полинома равны тогда и только тогда, когда равны их соответствующие коэффициенты.
Получим систему

$$\left\{ \begin{array}{rcl} a_0b_0^0+a_1b_1^0+...+a_mb_m^0=0 \\ ...\\ a_{m-1}b_{m-1}^{m-1} + a_mb_m^{m-1}=0\\ a_mb_m=c_m\\ \end{array} \right.$$

Но у нас в каждой строке $j$ $b_j^j$ не равен нулю, так как он берется из полинома $j$-й степени, а все стоящие справа от него слагаемые зануляются при обратном ходе метода Гаусса, слева же от него в уравнении ничего нет, так как у полинома $j-k$-й степени ($k \geqslant1$) все коэффициенты при мономах степени больше $j-k$ равны нулю. Таким образом из этой системы мы получаем, что $a_m=...=a_0=0$, а значит эти полиномы линейно независимы, значит они составляют базис $P_m(F)$. $\triangle$

[svv]

Sdy в сообщении #1429091 писал(а):

$P(F)$ - векторное пространство всех полиномов над полем $F$.

И в утверждении, и в доказательстве используется обозначение $P_m(F)$, но Вы не определили, что это такое.

Sdy в сообщении #1429091 писал(а):

Размерность пространства $P_m(F)$ равна $m+1$

Почему?

[Sdy]

svv, спасибо за ответ.

svv в сообщении #1429092 писал(а):

И в утверждении, и в доказательстве используется обозначение $P_m(F)$, но Вы не определили, что это такое.

Это векторное пространство полиномов степени не выше $m$ над полем $F$.

svv в сообщении #1429092 писал(а):

Почему?

Возьмём кортеж $(1,x,x^2,...,x^m)$. Все элементы этого кортежа лежат в $P_m(F)$. Он линейно независим в $P_m(F)$ и при этом порождает $P_m(F)$, значит он является базисом данного векторного пространства. Размерностью векторного пространства называется длина базиса данного векторного пространства, значит $dim(P_m(F)) = m + 1$.

[svv]

Sdy в сообщении #1429094 писал(а):

при этом порождает $P_m(F)$

Верю. Любой полином степени не выше $m$ является линейной комбинацией $x^0, ..., x^m$. Полнота этой системы векторов у нас имеется.

Sdy в сообщении #1429094 писал(а):

Он линейно независим в $P_m(F)$

Не верю.

[Sdy]

svv, спасибо за ответ.
Определение линейной независимости.
Набор векторов $(v_1,...,v_n)$ данного векторного пространства $V$ над полем $F$ называется линейно независимым, если
$a_1v_1+...+a_nv_n=0 \Rightarrow a_1=...=a_n=0$ ($a_i \in F \forall i$).

У нас имеется набор векторов $(1,x,x^2,...,x^m)$ данного векторного пространства $P_m(F)$. Нейтральным по сложению элементом данного векторного пространства является полином $0$, чьи все коэффициенты равны нулю.
Рассмотрим равенство линейной комбинации данных векторов нейтральному по сложению элементу данного векторного пространства.
$a_0+a_1x+a_2x^2+...+a_mx^m=0$.
Два полинома равны тогда и только тогда, когда равны их соответствующие коэффициенты.
Значит $a_0 = ... = a_m = 0$. Значит эти векторы линейно независимы в данном векторном пространстве.

[svv]

Sdy в сообщении #1429098 писал(а):

Два полинома равны тогда и только тогда, когда равны их соответствующие коэффициенты.

Почему?

Чтобы Вы не подумали, что я к Вам придираюсь на ровном месте, прошу Вас открыть статью русской Википедии "Конечное поле". Вы там увидите утверждение:

Цитата:

Согласно малой теореме Ферма, каждый элемент поля $\mathbb {F} _q$ удовлетворяет равенству $a^{q}=a$.

Это значит, что, например, в поле $\mathbb {F} _2$ справедливо $x^2=x$. Слева полином, справа полином, коэффициенты при одной и той же степени различны, а полиномы равны.

[Sdy]

svv, спасибо за ответ.
Да, я Вас понял. Мои рассуждения верны только в случаях $F=\mathbb{R}$, $F=\mathbb{C}$. Просто на данный момент в моей литературе не рассматривается других полей, если это отдельно не обговорено и поэтому я об этом ошибочно не написал.

[svv]

Я понимаю, но тогда надо обосновать, почему для этих двух полей Ваше утверждение («равны полиномы $\Rightarrow$ равны коэффициенты») всё-таки справедливо. Ведь, как видите, в общем случае оно несправедливо.

[nnosipov]

svv в сообщении #1429105 писал(а):

Ведь в общем случае оно несправедливо.

Э-э, нет. Это определение равенства полиномов, здесь студент прав. Ведь полином в алгебре --- это не функция, а формальное выражение с буквами.

-- Пт дек 06, 2019 23:59:25 --

Sdy в сообщении #1429104 писал(а):

Мои рассуждения верны только в случаях $F=\mathbb{R}$, $F=\mathbb{C}$.

Ваши рассуждения верны для любого поля.

[svv]

Хорошо, человек доказал утверждение для полиномов как формальных сумм. Вполне вероятно, что однажды ему придётся, занимаясь приложениями, "спуститься на грешную землю" и поработать с полиномами как функциями. Но линейная независимость полиномов в функциональном смысле требует отдельного доказательства. Обещаю быть настороже, и если человек решит, что у него уже "всё доказано", тут же схвачу его за рукав!

[nnosipov]

svv в сообщении #1429113 писал(а):

Но линейная независимость полиномов в функциональном смысле требует отдельного доказательства.

Я бы сказал, сама постановка задачи нуждается в уточнении (например, как задача описания идеала нулевых функций в кольце полиномов над данным конечным полем). Но это уже более сложный сюжет.

Кстати, похожие вопросы уже обсуждались в теме topic123730.html Что-то, видимо, было недопонято ТС-ом.

[Sdy]

svv, спасибо за ответ.
Как доказывается что если наш полином это функция из $F \to F$ (где $F$ - вещественные или комплексные), тождественно равная нулю во всех $x \in F$, тогда все ее коэффициенты равны нулю - я знаю.
Соответственно из этого могу вывести, что если $p_1(x)=p_2(x) \Leftrightarrow p_1(x)-p_2(x)=0$ и соответственно коэффициенты должны совпадать.
Если же коэффициенты совпадают, то тогда ясно, что функции совпадают на всей области определения.

[svv]

Хорошо.

[Sdy]

svv,
nnosipov,
спасибо за помощь.