Комплексные числа

[KPEHgEJIb]

Посчитать $\sqrt{1+\sqrt{2}i}$


$|z|=\sqrt{1+2}=\sqrt{3}$

$\cos\Phi=\frac{1}{\sqrt{3}}$
$\sin\Phi=\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$

Но ведь $\frac{1}{\sqrt{3}}$ и $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$ не табличные значения. Как быть?

[Janine]

А чем ответы

$$\arccos\frac{1}{\sqrt{3}}$$

и

$$\arcsin\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$$

не подходят? Такие же числа...

[KPEHgEJIb]

Janine, это не ответы, а промежуточная часть решения.

Мне же надо в виде $r(\cos\Phi+i\sin\Phi)$ представить. Куда я тут арккосинус и арксинус пихать буду?

[Taras]

Janine все правильно вам сказала. Так как число(то что под корнем) ваше лежит в первом квадранте, то его главный аргумент равен $\arccos \frac 1 {\sqrt3} $ или то же самое, что $\arcsin \frac {\sqrt 2} {\sqrt 3} $

[Бодигрим]

KPEHgEJIb писал(а):

Мне же надо в виде $r(\cos\Phi+i\sin\Phi)$ представить. Куда я тут арккосинус и арксинус пихать буду?

Так вам нужно посчитать или "представить в тригонометрической форме"? Пихать арки будете вместо $\Phi$: don't worry be happy.

[Sensile]

Можно попробовать работать не с тригонометрической, а с алгебраической формой числа, то есть искать все числа вида $x+yi$ (где $x$ и $y$ - действительные), такие что, $(x+yi)^2=1+\sqrt{2}i}$

[KPEHgEJIb]

Бодигрим, нужно посчитать.

Ответы выходят в таком страшном виде:
$\sqrt[4]{3}((cos\frac{arccos(\frac{1}{\sqrt{3}})}{2})+i\sin(\frac{arccos(\frac{1}{\sqrt{3}})}{2}))$
$\sqrt[4]{3}((cos\frac{arccos(\frac{1}{\sqrt{3}})+2\pi}{2})+i\sin(\frac{arccos(\frac{1}{\sqrt{3}})+2\pi}{2}))$

Sensile, попробую и так.

[AD]

А, последовав совету Sensile, вы узнаете, чему равны косинусы этих арккосинусов итп.

В принципе, их и так можно разгрести. Типа сначала понять, что такое косинус половинного угла, а потом [аккуратно] пользоваться утверждениями типа $\cos\arccos x=x$ и $\sin \arccos x =\pm \sqrt{1-x^2}$