Из каких представлений были определены операции над векторами: сложение, вычитание и т. д?
Зависит от того, о каком векторном пространстве идет речь. Если это пространство отрезков со стрелками, то, например, из представлений о сложении сил в механике. А если это пространство, скажем, многочленов -- то из других представлений:)