Открытое множество в полном пространстве

[Padawan]

1) Доказать, что открытое множество в полном метрическом пространстве гомеоморфно полному метрическому пространству.
2) То же самое для множества типа $G_\delta$ (пересечение счётного семейства открытых множеств).

[worm2]

Не совсем понял. Разве определение открытого множества предполагает, например, связность? Или, может быть, подразумевается "гомеоморфно какому-то полному метрическому пространству" (не обязательно тому, из которого оно)?

[pogulyat_vyshel]

затер за бредовостью

[Padawan]

worm2 в сообщении #1428525 писал(а):

Не совсем понял. Разве определение открытого множества предполагает, например, связность? Или, может быть, подразумевается "гомеоморфно какому-то полному метрическому пространству" (не обязательно тому, из которого оно)?

Да, конечно, какому-то.

[DeBill]

1. Пусть $U$ - открытое в полном метрическом $(M,\rho)$, $\Gamma = \partial U$, $Q(x) = (\rho(x,\Gamma))^{-1}$. Тогда $Q$ - корректно определенная функция на $U$.
Положим $d(x,y) =\rho(x,y)+ \left\lvert Q(x)-Q(y)\right\rvert$. Ясно, что $d$- метрика на $U$, и отображение $x\mapsto x$ - гомеоморфизм $(U,\rho)$ на $(U,d)$. Ну, и, вроде, $(U,d)$ - полное....

[Padawan]

Все верно, только надо брать расстояние до $M\setminus U$, а не до границы $U$ (она может оказаться пустой).

[Mikhail_K]

Padawan в сообщении #1428599 писал(а):

Все верно, только надо брать расстояние до $M\setminus U$, а не до границы $U$ (она может оказаться пустой).

Ну, если граница $U$ пуста, то $U$ также и замкнутое множество, а поэтому и само по себе представляет собой полное метрическое пространство.

[Padawan]

Рассмотрим отображение $F\colon U\to M\times\mathbb R$, $F(x)=(x,Q(x))$. Нетрудно проверить, что это отображение является гомеоморфным вложением $U$ в $M\times\mathbb R$, и что $F(U)$ замкнуто в $M\times \mathbb R$. На произведении $M\times \mathbb R$ метрика $d((x,t),(y,s))=\rho(x,y)+|t-s|$ полна. Значит, $F(U)$ относительно этой метрики тоже полно. А это и есть метрика, указанная DeBill'ом.
Вторая задача решается аналогично, надо вложить $U$ в $M\times\mathbb R^{\aleph_0}$. Метрика тоже явно выписывается.

-- Пн дек 02, 2019 20:09:29 --

Mikhail_K
Согласен.

[DeBill]

Padawan в сообщении #1428604 писал(а):

Рассмотрим отображение

...
Да, так много понятнее и прозрачнее...