2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Открытое множество в полном пространстве
Сообщение02.12.2019, 11:29 
Заслуженный участник


13/12/05
3638
1) Доказать, что открытое множество в полном метрическом пространстве гомеоморфно полному метрическому пространству.
2) То же самое для множества типа $G_\delta$ (пересечение счётного семейства открытых множеств).

 Профиль  
                  
 
 Re: Открытое множество в полном пространстве
Сообщение02.12.2019, 12:32 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/08/06
2672
Уфа
Не совсем понял. Разве определение открытого множества предполагает, например, связность? Или, может быть, подразумевается "гомеоморфно какому-то полному метрическому пространству" (не обязательно тому, из которого оно)?

 Профиль  
                  
 
 Re: Открытое множество в полном пространстве
Сообщение02.12.2019, 13:09 
Аватара пользователя


31/08/17
19/12/19
1671
затер за бредовостью

 Профиль  
                  
 
 Re: Открытое множество в полном пространстве
Сообщение02.12.2019, 13:13 
Заслуженный участник


13/12/05
3638
worm2 в сообщении #1428525 писал(а):
Не совсем понял. Разве определение открытого множества предполагает, например, связность? Или, может быть, подразумевается "гомеоморфно какому-то полному метрическому пространству" (не обязательно тому, из которого оно)?

Да, конечно, какому-то.

 Профиль  
                  
 
 Re: Открытое множество в полном пространстве
Сообщение02.12.2019, 18:42 
Заслуженный участник


10/01/16
2073
1. Пусть $U$ - открытое в полном метрическом $(M,\rho)$, $\Gamma = \partial U$, $Q(x) = (\rho(x,\Gamma))^{-1}$. Тогда $Q$ - корректно определенная функция на $U$.
Положим $d(x,y) =\rho(x,y)+ \left\lvert Q(x)-Q(y)\right\rvert$. Ясно, что $d$- метрика на $U$, и отображение $x\mapsto x$ - гомеоморфизм $(U,\rho)$ на $(U,d)$. Ну, и, вроде, $(U,d)$ - полное....

 Профиль  
                  
 
 Re: Открытое множество в полном пространстве
Сообщение02.12.2019, 18:46 
Заслуженный участник


13/12/05
3638
Все верно, только надо брать расстояние до $M\setminus U$, а не до границы $U$ (она может оказаться пустой).

 Профиль  
                  
 
 Re: Открытое множество в полном пространстве
Сообщение02.12.2019, 18:52 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


26/01/14
3246
Padawan в сообщении #1428599 писал(а):
Все верно, только надо брать расстояние до $M\setminus U$, а не до границы $U$ (она может оказаться пустой).
Ну, если граница $U$ пуста, то $U$ также и замкнутое множество, а поэтому и само по себе представляет собой полное метрическое пространство.

 Профиль  
                  
 
 Re: Открытое множество в полном пространстве
Сообщение02.12.2019, 19:08 
Заслуженный участник


13/12/05
3638
Рассмотрим отображение $F\colon U\to M\times\mathbb R$, $F(x)=(x,Q(x))$. Нетрудно проверить, что это отображение является гомеоморфным вложением $U$ в $M\times\mathbb R$, и что $F(U)$ замкнуто в $M\times \mathbb R$. На произведении $M\times \mathbb R$ метрика $d((x,t),(y,s))=\rho(x,y)+|t-s|$ полна. Значит, $F(U)$ относительно этой метрики тоже полно. А это и есть метрика, указанная DeBill'ом.
Вторая задача решается аналогично, надо вложить $U$ в $M\times\mathbb R^{\aleph_0}$. Метрика тоже явно выписывается.

-- Пн дек 02, 2019 20:09:29 --

Mikhail_K
Согласен.

 Профиль  
                  
 
 Re: Открытое множество в полном пространстве
Сообщение02.12.2019, 19:26 
Заслуженный участник


10/01/16
2073
Padawan в сообщении #1428604 писал(а):
Рассмотрим отображение
...
Да, так много понятнее и прозрачнее...

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 9 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group