Найти радиус кривизны

[Icarus]

"Диск радиуса $R$, вращающийся вокруг своей оси с угловой скоростью $\omega$, брошен под углом $\alpha$ к горизонту со скоростью $V_{0}$. Точка А на ободе описывает в пространстве некоторую траекторию. Найти радиус ее кривизны $r$ в момент наибольшего подъема, если точка А находится при этом над центром колеса. "

Можно, конечно написать:

$$x=V_{0}-R\cos(\omega t)$$

$$y=R-R\cos(\omega t)$$

Подставить в

$$R=\dfrac{\left[1+\left(\frac{dy}{dx}\right)^{2}\right]^{\frac{3}{2}}}{\left|\frac{d^2y}{dx^2}\right|}$$

(как это можно покрасивше набрать?)

И получить правильный ответ, но хотелось бы каким-нибудь кинематическим способом. Пробовал рассуждать так:

$$\vec{V}=\vec{V_{0}}+\vec{V_{1}}$$

где $V_{1}=\omega R$. Тогда

$$\frac{d\vec{V}}{dt}=\frac{V^{2}_{1}}{R}\vec{n}$$.

$\vec{n}$ направлен по радиусу к центру диска. Но тогда (и по всей видимости здесь то что-то и не правильно)

$$\frac{V^2_{0}}{R}=\frac{V^2_{0}+V^2_{1}}{r}$$

Отсюда я как бы нахожу свое $r$ и все хорошо, но все совсем не хорошо...

[Eule_A]

(Оффтоп)

Icarus в сообщении #1428090 писал(а):

(как это можно покрасивше набрать?)

Скобки всех видов записывать по образцу \left( \right).

[iifat]

Icarus в сообщении #1428090 писал(а):

$\vec{V}=\vec{V_{0}}+\vec{V_{1}}$

То есть, по-вашему, диск двигается равномерно и прямолинейно?

[pogulyat_vyshel]

Радиус кривизны траектории точки находится из формулы

$$1/\rho=\frac{|[\boldsymbol a,\boldsymbol v]|^}{|\boldsymbol v|^3}$$

Скорость и ускорение находятся по теореме сложения скоростей и ускорений; удобно ввести подвижную систему координат с центром в центре диска и двигающуюся поступательно

-- 29.11.2019, 09:34 --

iifat в сообщении #1428098 писал(а):

То есть, по-вашему, диск двигается равномерно и прямолинейно?

странный вывод из теоремы сложения скоростей

[iifat]

pogulyat_vyshel в сообщении #1428113 писал(а):

странный вывод

Чем он так странен? Скорость точки есть начальная скорость центра вращения плюс скорость вращения относительно центра — это, по вашему, нормально?

[pogulyat_vyshel]

если начальная тогда плохо

[Icarus]

Эм, простите, произошел epic fail... Набирал поздно вечером и скопировал не то условие...

Задача такая:
"Колесо радиуса $R$ движется горизонтально со скоростью $V_{0}$ и вращается с угловой скоростью $\omega$. Точка А на ободе описывает в пространстве некоторую траекторию. Найти радиус ее кривизны $r$ в момент, когда точка находится на уровне центра колеса."

iifat
Это я написал, что абсолютная скорость есть векторная сумма переносной скорости $\vec{V_{0}}$ и относительной $\vec{V_{1}}$ (то есть вращения относительно центра). В этой новой задаче это ведь так?

pogulyat_vyshel
Выглядит как очень полезная формула, странно, что ее не пишут в учебниках общей физики. Где можно ее вывод посмотреть?

[iifat]

Icarus в сообщении #1428131 писал(а):

В этой новой задаче это ведь так?

Да. В новой — всё верно.

Icarus в сообщении #1428131 писал(а):

странно, что ее не пишут в учебниках общей физики

Я б сказал, что это формула из школьной физики — формула перехода от одной СО к другой.

[pogulyat_vyshel]

Icarus в сообщении #1428131 писал(а):

Где можно ее вывод посмотреть?

Болотин Карапетян Кугушев Трещев Теор механика

Я все таки отмечу что формула сложения скоростей $\boldsymbol v=\boldsymbol v_{\mbox{отн}}+\boldsymbol v_{\mbox{пер}}$ верна всегда безотносительно к каким-то конкретным задачам или специальным движениям подвижной системы координат Это касается и формулы сложения ускорений

[Icarus]

iifat
Я имел ввиду формулы для радиуса кривизны.

[iifat]

А, понятно. Но кривизна (и радиус оной) — это дифференциальная геометрия, вроде бы. Не знаю уж, вносит ли тут физика что-то своё.

[Pphantom]

Icarus в сообщении #1428144 писал(а):

Я имел ввиду формулы для радиуса кривизны.

Она немного тривиальна. Попробуйте сами вывести, связав нормальное ускорение со скоростью и радиусом и учитывая, что нормальное ускорение таки нормально (т.е. перпендикулярно скорости), это делается буквально в одну строчку.

[Icarus]

Pphantom
Ой, да, там же просто векторно домножить и ничего особенного...