Пределы интегрирования в двойном интеграле

[artey]

artey в сообщении #1427807 писал(а):

$\left| {xy(x + y)} \right| = \left| {\left\{ \begin{gathered} x = x'\cos \alpha - y'\sin \alpha \hfill \\ y = x'\sin \alpha + y'\cos \alpha \hfill \\ \end{gathered} \right.} \right| = \left| {\frac{{\sqrt 2 }}{2}(x' - y') \cdot \frac{{\sqrt 2 }}{2}(x' + y')\left( {\frac{{\sqrt 2 }}{2}(x' - y') + \frac{{\sqrt 2 }}{2}(x' + y')} \right)} \right| = \left| {\frac{{\sqrt 2 }}{2}x(x' - y')(x' + y')} \right|$

в конечном результате вместо $x$ должно быть $x'$

[EUgeneUS]

artey
1. Чуть более подробнее про переход. Систему для перехода от старых к новым координатам Вы написали верно. Но почему же Вы считаете, что если одна координата равна нулю в старом базисе, она остается рана нулю в новом?

Если аккуратно подставить, то для угла $\frac{\pi}{4}$ получается так:
$(x, y) \to (x', y') = \frac{\sqrt{2}}{2} (x+y, -x+y)$,

В частности для одной из точек:
$(1,0)_{\text{в старом базисе}} \to (\frac{\sqrt{2}}{2},-\frac{\sqrt{2}}{2})_\text{в новом базисе}$

Теперь можно легко написать пределы интегрирования после перехода в новую систему координат.

2. С коэффициентом, Вы были правы, я не прав. Он равен $(\frac{\sqrt{2}}{2})^3 \boldsymbol{2}$. Куб вполне очевиден, а вот выделенную двойку в устном счете упустил. Приношу извинения столько раз сколько эти Ваши выкладки назвал ошибочными.

[artey]

EUgeneUS в сообщении #1427827 писал(а):

artey
1. Чуть более подробнее про переход. Систему для перехода от старых к новым координатам Вы написали верно. Но почему же Вы считаете, что если одна координата равна нулю в старом базисе, она остается рана нулю в новом?

Если аккуратно подставить, то для угла $\frac{\pi}{4}$ получается так:
$(x, y) \to (x', y') = \frac{\sqrt{2}}{2} (x+y, -x+y)$,

В частности для одной из точек:
$(1,0)_{\text{в старом базисе}} \to (\frac{\sqrt{2}}{2},-\frac{\sqrt{2}}{2})_\text{в новом базисе}$

Теперь можно легко написать пределы интегрирования после перехода в новую систему координат.

Таким образом, получится $\iint\limits_{\left| x \right| + \left| y \right| \leqslant 1} {\left| {xy(x + y)} \right|dxdy = \int_{ - \frac{{\sqrt 2 }}{2}}^{\frac{{\sqrt 2 }}{2}} {\int_{ - \frac{{\sqrt 2 }}{2}}^{\frac{{\sqrt 2 }}{2}} {\left| {\frac{{\sqrt 2 }}{2}x'(x' - y')(x' + y')} \right|dx'dy'} } }$ ?

EUgeneUS в сообщении #1427827 писал(а):

2. С коэффициентом, Вы были правы, я не прав. Он равен $(\frac{\sqrt{2}}{2})^3 \boldsymbol{2}$. Куб вполне очевиден, а вот выделенную двойку в устном счете упустил. Приношу извинения столько раз сколько эти Ваши выкладки назвал ошибочными.

Бывает

[EUgeneUS]

artey в сообщении #1427842 писал(а):

Таким образом, получится

Да. Первую плюшку от поворота осей Вы получили - в пределах интегрирования никаких модулей нет.
Не знаю, скормите Вы это Маткаду или нет.

Вторая плюшка приводит к простому вычислению интеграла "на листочке". Могу подробнее рассказать, если интересно.

[artey]

EUgeneUS в сообщении #1427660 писал(а):

Я бы оси повернул на $\frac{\pi}{4}$ и получил бы кучу плюшек.
А) никаких модулей в пределах интегрирования
Б) интеграл можно будет считать по четвертинке квадрата, из соображений симметрии. Что сводит количество множителей, от которых берется модуль под интегралом, до одного.

$\iint\limits_{\left| x \right| + \left| y \right| \leqslant 1} {\left| {xy(x + y)} \right|dxdy = \int_{ - \frac{{\sqrt 2 }}{2}}^{\frac{{\sqrt 2 }}{2}} {\int_{ - \frac{{\sqrt 2 }}{2}}^{\frac{{\sqrt 2 }}{2}} {\left| {\frac{{\sqrt 2 }}{2}x'(x' - y')(x' + y')} \right|dx'dy'} } }$
Это же полностью интеграл по всей области получился? Или только для четвертинки?

[EUgeneUS]

Полностью по всей области, конечно. С четвертинкой - это "вторая плюшка"

[artey]

Спасибо вам большое, EUgeneUS! Благодаря вам продвинулась работа в написании кандидатской.

[EUgeneUS]

artey

(Оффтоп)

artey в сообщении #1427847 писал(а):

продвинулась работа в написании кандидатской.

Кандидатская, надеюсь, не по математике и не по физике.

[artey]

EUgeneUS

(Оффтоп)

EUgeneUS в сообщении #1427848 писал(а):

Кандидатская, надеюсь, не по математике и не по физике.

Благодарю за иронию, но это была шутка.

[EUgeneUS]

artey

(Оффтоп)

После чтения некоторых опусов из диссернета, такие шутки понимаются с трудом