Пределы интегрирования в двойном интеграле

[Eule_A]

artey в сообщении #1427597 писал(а):

Какими же тогда будут $a,b$ и $\[{\varphi _1}(x),{\varphi _2}(x)\]$?

Ну, с модулями, например, поэкспериментируйте.

[artey]

Таким вот образом $\int_{ - 1}^1 {dx\int\limits_{ - 1 + \left| x \right|}^{1 - \left| x \right|} {\left| {xy(x + y)} \right|dy} }$ ?

[Eule_A]

Как-то так, да.

[artey]

С помощью Mathcad мне нужно получить численное значение интеграла, Результат расчета по методу Монте-Карло, мне нужно сравнить с численным значением, полученным в Mathcad.
Я ввел последний вариант (где в пределах модули), но Mathcad не выдает численного значения, а просто выводит, введенное мной выражение заново. Как быть?

[EUgeneUS]

Я бы оси повернул на $\frac{\pi}{4}$ и получил бы кучу плюшек.
А) никаких модулей в пределах интегрирования
Б) интеграл можно будет считать по четвертинке квадрата, из соображений симметрии. Что сводит количество множителей, от которых берется модуль под интегралом, до одного.

[artey]

EUgeneUS в сообщении #1427660 писал(а):

Я бы оси повернул на $\frac{\pi}{4}$ и получил бы кучу плюшек.

Можно поподробнее, как это осуществить?

EUgeneUS в сообщении #1427660 писал(а):

А) никаких модулей в пределах интегрирования
Б) интеграл можно будет считать по четвертинке квадрата, из соображений симметрии. Что сводит количество множителей, от которых берется модуль под интегралом, до одного.

Поясните, пожалуйста пункт Б, особенно последнее предложение.

[Eule_A]

artey в сообщении #1427664 писал(а):

Можно поподробнее, как это осуществить?

Вы знаете, как замена в двойном интеграле делается? Записываете обычное преобразование поворота, как в аналитической геометрии учат - и выполняете замену.

(Оффтоп)

Вот, кстати, если бы Вы сразу сказали, в каком контексте задача возникла, обсуждение сразу пошло бы в другом русле.

[EUgeneUS]

artey в сообщении #1427664 писал(а):

Поясните, пожалуйста пункт Б, особенно последнее предложение.

В новых переменных получится в таком виде: $f(u, v) = |A(u+v)(v-u)v|$
Откуда: $ f(u, v) = f(-u, v) = f(u, -v)$
А значит, учитывая симметрию области интегрирования в новых переменных, интеграл можно брать только по четвертинке, где $u, v > 0$, и умножить на четыре.
В этой четвертинке подинтегральную функцию можно записать как $f(u, v) = A(u+v)v|(v-u)|$

-- 25.11.2019, 20:28 --

Eule_A в сообщении #1427666 писал(а):

и выполняете замену

На всякий случай, не забывая сделать замену в пределах итегрирования.

[artey]

EUgeneUS в сообщении #1427675 писал(а):

В новых переменных получится в таком виде: $f(u, v) = |A(u+v)(v-u)v|$
Откуда: $ f(u, v) = f(-u, v) = f(u, -v)$
А значит, учитывая симметрию области интегрирования в новых переменных, интеграл можно брать только по четвертинке, где $u, v > 0$, и умножить на четыре.
В этой четвертинке подинтегральную функцию можно записать как $f(u, v) = A(u+v)v|(v-u)|$

-- 25.11.2019, 20:28 --

Eule_A в сообщении #1427666 писал(а):

и выполняете замену

На всякий случай, не забывая сделать замену в пределах итегрирования.

Простите, конечно, но я не понял, что вы здесь написали. Что такое $A$?

Eule_A в сообщении #1427666 писал(а):

Вы знаете, как замена в двойном интеграле делается? Записываете обычное преобразование поворота, как в аналитической геометрии учат - и выполняете замену.

В интеграле $\iint\limits_{\left| x \right| + \left| y \right| \leqslant 1} {\left| {xy(x + y)} \right|dxdy}$ при повороте осей на угол $\alpha = \frac{\pi }{4}$ сделал замену переменных по следующим формулам $\left\{ \begin{gathered} x = x'\cos \alpha - y'\sin \alpha \hfill \\ y = x'\sin \alpha + y'\cos \alpha \hfill \\ \end{gathered} \right.$. Подынтегральная функция тогда будет такая $ f(x',y') = \left| {\frac{{\sqrt 2 }}{2}x'({{\left( {x'} \right)}^2} - {{\left( {y'} \right)}^2})} \right|$. Стороны квадрата теперь будут параллельны координатным осям, а значит пределы интегрирования в обоих случаях будут от $-1$ до $1$. Значит интеграл примет вид $\int_{ - 1}^1 {\int_{ - 1}^1 {\left| {\frac{{\sqrt 2 }}{2}x'({{\left( {x'} \right)}^2} - {{\left( {y'} \right)}^2})} \right|} } dx'dy'$. Если я не прав, поправьте меня, пожалуйста.

[EUgeneUS]

artey в сообщении #1427763 писал(а):

Что такое $A$?

Это некая константа, которую Вам следует найти, выполнив корректно поворот осей.

artey в сообщении #1427763 писал(а):

Подынтегральная функция тогда будет такая $ f(x',y') = \left| {\frac{{\sqrt 2 }}{2}x'({{\left( {x'} \right)}^2} - {{\left( {y'} \right)}^2})} \right|$.

и которую Вы нашли неверно.

artey в сообщении #1427763 писал(а):

а значит пределы интегрирования в обоих случаях будут от $-1$ до $1$.

Нет, не будут. Я же писал:

EUgeneUS в сообщении #1427675 писал(а):

На всякий случай, не забывая сделать замену в пределах итегрирования.

Если по простому - в какие точки перейдут вершины квадрата при таком повороте?

Саму подинтегральную функцию Вы нашли верно (кроме ошибки с постоянным коэффциентом, поэтому я всё также буду использовать $A$).

artey в сообщении #1427763 писал(а):

$ f(x',y') = \left| {\frac{{\sqrt 2 }}{2}x'({{\left( {x'} \right)}^2} - {{\left( {y'} \right)}^2})} \right|$.

Её можно переписать так:
$ f(x',y') = \left| {A x'({{\left( {x'} \right)}^2} - {{\left( {y'} \right)}^2})} \right| = A |x'||x'+y'||x'-y'|$
Получили то, о чем писалось выше, но Вы не поняли.

[artey]

EUgeneUS в сообщении #1427675 писал(а):

artey в сообщении #1427763 писал(а):

а значит пределы интегрирования в обоих случаях будут от $-1$ до $1$.

Нет, не будут. Я же писал:

EUgeneUS в сообщении #1427675 писал(а):

На всякий случай, не забывая сделать замену в пределах интегрирования.

Загвоздка в том, что я не понимаю, какие будут исходные пределы интегрирования, чтобы потом в них замену делать.

EUgeneUS в сообщении #1427675 писал(а):

Если по простому - в какие точки перейдут вершины квадрата при таком повороте?

$\left( {1,0} \right) \to \left( {1, - 1} \right),\left( {0,1} \right) \to \left( {1,1} \right),\left( { - 1,0} \right) \to \left( { - 1,1} \right),\left( {0, - 1} \right) \to \left( { - 1, - 1} \right)$

EUgeneUS в сообщении #1427675 писал(а):

Саму подынтегральную функцию Вы нашли верно (кроме ошибки с постоянным коэффициентом, поэтому я всё также буду использовать $A$).

artey в сообщении #1427763 писал(а):

$ f(x',y') = \left| {\frac{{\sqrt 2 }}{2}x'({{\left( {x'} \right)}^2} - {{\left( {y'} \right)}^2})} \right|$.

Что не так с постоянным коэффициентом? Я пересчитал и он такой же получился.

[EUgeneUS]

artey в сообщении #1427775 писал(а):

$\left( {1,0} \right) \to \left( {1, - 1} \right),\left( {0,1} \right) \to \left( {1,1} \right),\left( { - 1,0} \right) \to \left( { - 1,1} \right),\left( {0, - 1} \right) \to \left( { - 1, - 1} \right)$

Это, очевидно, неверно. Какая длина стороны квадрата? А какая длина стороны квадрата у Вас получилась после замены переменных? Почему длина стороны одного и того же квадрата зависит от выбора системы координат?
Просто запишите координаты вершин квадрата в старых координатах и примените к ним поворот осей.

artey в сообщении #1427775 писал(а):

Что не так с постоянным коэффициентом? Я пересчитал и он такой же получился.

Видимо, нужно было не пересчитать, а найти ошибку.

[artey]

EUgeneUS в сообщении #1427785 писал(а):

Это, очевидно, неверно. Какая длина стороны квадрата? А какая длина стороны квадрата у Вас получилась после замены переменных? Почему длина стороны одного и того же квадрата зависит от выбора системы координат?

Длина стороны квадрата до замены равна $\sqrt {{x^2} + {y^2}}$ или ${\sqrt 2 }$, после замены $\sqrt {{{\left( {x'} \right)}^2} + {{\left( {y'} \right)}^2}} $.

EUgeneUS в сообщении #1427785 писал(а):

Просто запишите координаты вершин квадрата в старых координатах и примените к ним поворот осей.

$\left( { - x,0} \right) \to \left( { - \frac{{\sqrt 2 }}{2}(x' - y'),0} \right),\left( {x,0} \right) \to \left( {\frac{{\sqrt 2 }}{2}(x' - y'),0} \right),\left( {0, - y} \right) \to \left( {0, - \frac{{\sqrt 2 }}{2}(x' + y')} \right),\left( {0,y} \right) \to \left( {0,\frac{{\sqrt 2 }}{2}(x' + y')} \right)$

EUgeneUS в сообщении #1427785 писал(а):

artey в сообщении #1427775 писал(а):

Что не так с постоянным коэффициентом? Я пересчитал и он такой же получился.

Видимо, нужно было не пересчитать, а найти ошибку.

К сожалению, я ее не нашел. Где может быть ошибка?

[EUgeneUS]

artey в сообщении #1427795 писал(а):

$\left( { - x,0} \right) \to \left( { - \frac{{\sqrt 2 }}{2}(x' - y'),0} \right),\left( {x,0} \right) \to \left( {\frac{{\sqrt 2 }}{2}(x' - y'),0} \right),\left( {0, - y} \right) \to \left( {0, - \frac{{\sqrt 2 }}{2}(x' + y')} \right),\left( {0,y} \right) \to \left( {0,\frac{{\sqrt 2 }}{2}(x' + y')} \right)$

Тут какое-то чудовище, рожденное сном разума.

У вас есть порядок перехода от новых координат к старым:
$\left\{ \begin{gathered} x = x'\cos \alpha - y'\sin \alpha \hfill \\ y = x'\sin \alpha + y'\cos \alpha \hfill \\ \end{gathered} \right.$
Запишите в аналогичном виде переход от старых координат к новым (будет похоже, но чуть по-другому). И примените, что получится, к вершинам квадрата.

-- 26.11.2019, 11:46 --

artey в сообщении #1427795 писал(а):

Где может быть ошибка?

Ошибка, очевидно, в величине постоянного коэффициента.
Где ошибка в Ваших ошибочных выкладках, не могу сказать, ибо не видел их.

[artey]

EUgeneUS в сообщении #1427797 писал(а):

У вас есть порядок перехода от новых координат к старым:
$\left\{ \begin{gathered} x = x'\cos \alpha - y'\sin \alpha \hfill \\ y = x'\sin \alpha + y'\cos \alpha \hfill \\ \end{gathered} \right.$
Запишите в аналогичном виде переход от старых координат к новым (будет похоже, но чуть по-другому). И примените, что получится, к вершинам квадрата.

$\left\{ \begin{gathered} x' = x\cos \alpha + y\sin \alpha \hfill \\ y' = y\cos \alpha - x\sin \alpha \hfill \\ \end{gathered}\right.$ $\left( { - x',0} \right) \to \left( { - \left( {\frac{{\sqrt 2 }}{2}(x + y)} \right),0} \right),\left( {x',0} \right) \to \left( {\frac{{\sqrt 2 }}{2}(x + y),0} \right),\left( {0, - y'} \right) \to \left( {0, - \left( {\frac{{\sqrt 2 }}{2}(y - x)} \right)} \right),\left( {0,y'} \right) \to \left( {0,\frac{{\sqrt 2 }}{2}(y - x)} \right)$

EUgeneUS в сообщении #1427797 писал(а):

Ошибка, очевидно, в величине постоянного коэффициента.
Где ошибка в Ваших ошибочных выкладках, не могу сказать, ибо не видел их.

$\left| {xy(x + y)} \right| = \left| {\left\{ \begin{gathered} x = x'\cos \alpha - y'\sin \alpha \hfill \\ y = x'\sin \alpha + y'\cos \alpha \hfill \\ \end{gathered} \right.} \right| = \left| {\frac{{\sqrt 2 }}{2}(x' - y') \cdot \frac{{\sqrt 2 }}{2}(x' + y')\left( {\frac{{\sqrt 2 }}{2}(x' - y') + \frac{{\sqrt 2 }}{2}(x' + y')} \right)} \right| = \left| {\frac{{\sqrt 2 }}{2}x(x' - y')(x' + y')} \right|$