Будет ли это метрикой?

[id]

Будет ли это метрикой

$$\rho(x,y) = \frac {sup |x(t) - y(t)|} {1+sup |x(t) - y(t)|}$$

на пространстве $C(a,b)$?
Кроме неравенства треугольника все очевидно, неравенство треугольника доказывается так же, как и вообще для метрики вида

$$\frac {\rho(x,y)} {1+\rho(x,y)}$$

. Cмущает только возможное бесконечное значение супремума.

[Brukvalub]

id в сообщении #142758 писал(а):

Cмущает только возможное бесконечное значение супремума.

Чем смущает?

[id]

Brukvalub
Метрики

$$\rho(x,y), \frac {\rho(x,y)} {1+\rho(x,y)}$$

эквивалентны. А тут... Хотя, видимо, это незначимо.

[Brukvalub]

Как возможность супремуму быть бесконечным мешает Вам вычислить расстояние между элементами пространства или проверить аксиомы метрики?

[zoo]

id писал(а):

Будет ли это метрикой

$$\rho(x,y) = \frac {sup |x(t) - y(t)|} {1+sup |x(t) - y(t)|}$$

на пространстве $C(a,b)$?
Кроме неравенства треугольника все очевидно, неравенство треугольника доказывается так же, как и вообще для метрики вида

$$\frac {\rho(x,y)} {1+\rho(x,y)}$$

. Cмущает только возможное бесконечное значение супремума.

1) $sup |x(t) - y(t)|$ не является метрикой в $C(a,b)$
2) $\rho$ является метрикой, но эта метрика не связана со стандартной топологией в $C(a,b)$
3) пространство $C(a,b)$ является полным метрическим пространством
относительно например метрики
$p(x,y)=\sum_{n=N}^\infty 2^{-n}\frac {sup_{t\in[a+1/n,b-1/n]} |x(t) - y(t)|} {1+sup_{t\in[a+1/n,b-1/n]} |x(t) - y(t)|}$ $N$ -- достаточно большое число

[Narn]

to Brukvalub, я вот, как и автор вопроса, не понимаю, как вычислять расстояние между тождественным нулем и $x \mapsto 1/x$ в $C(0,1)$ по такому определению без всяких комментариев. Предполагаю, что в этом случае его надо принять за 0,5. Метрика должна быть определена на всем пространстве, не так ли?

to zoo: Кажется, $\rho$ связана со сходимостью по мере?

[AD]

Narn писал(а):

Предполагаю, что в этом случае его надо принять за 0,5.

Я бы проголосовал за 1. Хотя, вроде бы, это ни на что не повлияет, но просто спокойнее, когда $\lim\limits_{x\to+\infty}\frac x{x+1}=1$.

Narn писал(а):

Кажется, $\rho$ связана со сходимостью по мере?

За сходимость по мере отвечает метрика

$$d(x,y)=\int\limits_a^b\frac{|x(t)-y(t)|}{1+|x(t)-y(t)|}\,dt$$

[Narn]

AD писал(а):

Narn писал(а):

Предполагаю, что в этом случае его надо принять за 0,5.

Я бы проголосовал за 1. Хотя, вроде бы, это ни на что не повлияет, но просто спокойнее, когда $\lim\limits_{x\to+\infty}\frac x{x+1}=1$.

Narn писал(а):

Кажется, $\rho$ связана со сходимостью по мере?

За сходимость по мере отвечает метрика

$$d(x,y)=\int\limits_a^b\frac{|x(t)-y(t)|}{1+|x(t)-y(t)|}\,dt$$

Согласен по обоим пунктам.

[id]

zoo
Как раз из-за Вашего пункта один и начал придумывать, как бы его метризовать. То, что оригинальный вариант - метрика, радует.

Топология, определеямая метрикой $\rho(x,y)=\sum_{n=N}^\infty 2^{-n}\frac {sup_{t\in[a+1/n,b-1/n]} |x(t) - y(t)|} {1+sup_{t\in[a+1/n,b-1/n]} |x(t) - y(t)|}$ очень напоминает $\mathfrak{S}$-топологию в топологических векторных пространствах непрерывных отображений. Правильно ли напоминает? И если определить для функций из $C(a,b)$ сложение и умножение на скаляры, определить такую топологию, пространство $C(a,b)$ станет локально-выпуклым ТВП?

[zoo]

id писал(а):

zoo
Как раз из-за Вашего пункта один и начал придумывать, как бы его метризовать. То, что оригинальный вариант - метрика, радует.

Топология, определеямая метрикой $\rho(x,y)=\sum_{n=N}^\infty 2^{-n}\frac {sup_{t\in[a+1/n,b-1/n]} |x(t) - y(t)|} {1+sup_{t\in[a+1/n,b-1/n]} |x(t) - y(t)|}$ очень напоминает $\mathfrak{S}$-топологию в топологических векторных пространствах непрерывных отображений. Правильно ли напоминает? И если определить для функций из $C(a,b)$ сложение и умножение на скаляры, определить такую топологию, пространство $C(a,b)$ станет локально-выпуклым ТВП?

про $\mathfrak{S}$-топологию я не понял;
метрика $\rho(x,y)=\sum_{n=N}^\infty 2^{-n}\frac {sup_{t\in[a+1/n,b-1/n]} |x(t) - y(t)|} {1+sup_{t\in[a+1/n,b-1/n]} |x(t) - y(t)|}$ задает в $C(a,b)$ топологию равномерной сходимости на компактных подмножествах интервала $(a,b)$ это топология, конечно, локально выпуклая;
про сходимость по мере я тоже не понял: такм где есть мера супремумов не бывает а бывает почти всюду и т.п.

[id]

zoo
$\mathfrak{S}$-топологией и называется топология равномерной сходимости на некотором семействе множеств $\mathfrak{S}$ в пространстве непрерывных отображений ( мне этот вопрос был интересен после Шефера "Т.В.П.", там это несколько подробнее описано ).

Спасибо, ясно.