2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 Будет ли это метрикой?
Сообщение05.09.2008, 16:49 
Будет ли это метрикой $$\rho(x,y) = \frac {sup |x(t) - y(t)|} {1+sup |x(t) - y(t)|}$$ на пространстве $C(a,b)$?
Кроме неравенства треугольника все очевидно, неравенство треугольника доказывается так же, как и вообще для метрики вида $$\frac {\rho(x,y)} {1+\rho(x,y)}$$. Cмущает только возможное бесконечное значение супремума.

 
 
 
 
Сообщение05.09.2008, 17:04 
Аватара пользователя
id в сообщении #142758 писал(а):
Cмущает только возможное бесконечное значение супремума.
Чем смущает?

 
 
 
 
Сообщение05.09.2008, 17:08 
Brukvalub
Метрики $$\rho(x,y), \frac {\rho(x,y)} {1+\rho(x,y)}$$ эквивалентны. А тут... Хотя, видимо, это незначимо.

 
 
 
 
Сообщение05.09.2008, 17:17 
Аватара пользователя
Как возможность супремуму быть бесконечным мешает Вам вычислить расстояние между элементами пространства или проверить аксиомы метрики?

 
 
 
 Re: Будет ли это метрикой?
Сообщение05.09.2008, 19:40 
Аватара пользователя
id писал(а):
Будет ли это метрикой $$\rho(x,y) = \frac {sup |x(t) - y(t)|} {1+sup |x(t) - y(t)|}$$ на пространстве $C(a,b)$?
Кроме неравенства треугольника все очевидно, неравенство треугольника доказывается так же, как и вообще для метрики вида $$\frac {\rho(x,y)} {1+\rho(x,y)}$$. Cмущает только возможное бесконечное значение супремума.

1) $sup |x(t) - y(t)|$ не является метрикой в $C(a,b)$
2) $\rho$ является метрикой, но эта метрика не связана со стандартной топологией в $C(a,b)$
3) пространство $C(a,b)$ является полным метрическим пространством
относительно например метрики
$p(x,y)=\sum_{n=N}^\infty 2^{-n}\frac {sup_{t\in[a+1/n,b-1/n]} |x(t) - y(t)|} {1+sup_{t\in[a+1/n,b-1/n]} |x(t) - y(t)|}$ $N$ -- достаточно большое число

 
 
 
 
Сообщение06.09.2008, 11:42 
to Brukvalub, я вот, как и автор вопроса, не понимаю, как вычислять расстояние между тождественным нулем и $x \mapsto 1/x$ в $C(0,1)$ по такому определению без всяких комментариев. Предполагаю, что в этом случае его надо принять за 0,5. Метрика должна быть определена на всем пространстве, не так ли?

to zoo: Кажется, $\rho$ связана со сходимостью по мере?

 
 
 
 
Сообщение06.09.2008, 13:00 
Narn писал(а):
Предполагаю, что в этом случае его надо принять за 0,5.
Я бы проголосовал за 1. Хотя, вроде бы, это ни на что не повлияет, но просто спокойнее, когда $\lim\limits_{x\to+\infty}\frac x{x+1}=1$.

Narn писал(а):
Кажется, $\rho$ связана со сходимостью по мере?
За сходимость по мере отвечает метрика
$$d(x,y)=\int\limits_a^b\frac{|x(t)-y(t)|}{1+|x(t)-y(t)|}\,dt$$

 
 
 
 
Сообщение06.09.2008, 17:42 
AD писал(а):
Narn писал(а):
Предполагаю, что в этом случае его надо принять за 0,5.
Я бы проголосовал за 1. Хотя, вроде бы, это ни на что не повлияет, но просто спокойнее, когда $\lim\limits_{x\to+\infty}\frac x{x+1}=1$.

Narn писал(а):
Кажется, $\rho$ связана со сходимостью по мере?
За сходимость по мере отвечает метрика
$$d(x,y)=\int\limits_a^b\frac{|x(t)-y(t)|}{1+|x(t)-y(t)|}\,dt$$


Согласен по обоим пунктам. :oops:

 
 
 
 
Сообщение06.09.2008, 18:27 
zoo
Как раз из-за Вашего пункта один и начал придумывать, как бы его метризовать. То, что оригинальный вариант - метрика, радует.

Топология, определеямая метрикой $\rho(x,y)=\sum_{n=N}^\infty 2^{-n}\frac {sup_{t\in[a+1/n,b-1/n]} |x(t) - y(t)|} {1+sup_{t\in[a+1/n,b-1/n]} |x(t) - y(t)|}$ очень напоминает $\mathfrak{S}$-топологию в топологических векторных пространствах непрерывных отображений. Правильно ли напоминает? И если определить для функций из $C(a,b)$ сложение и умножение на скаляры, определить такую топологию, пространство $C(a,b)$ станет локально-выпуклым ТВП?

 
 
 
 
Сообщение06.09.2008, 19:19 
Аватара пользователя
id писал(а):
zoo
Как раз из-за Вашего пункта один и начал придумывать, как бы его метризовать. То, что оригинальный вариант - метрика, радует.

Топология, определеямая метрикой $\rho(x,y)=\sum_{n=N}^\infty 2^{-n}\frac {sup_{t\in[a+1/n,b-1/n]} |x(t) - y(t)|} {1+sup_{t\in[a+1/n,b-1/n]} |x(t) - y(t)|}$ очень напоминает $\mathfrak{S}$-топологию в топологических векторных пространствах непрерывных отображений. Правильно ли напоминает? И если определить для функций из $C(a,b)$ сложение и умножение на скаляры, определить такую топологию, пространство $C(a,b)$ станет локально-выпуклым ТВП?

про $\mathfrak{S}$-топологию я не понял;
метрика $\rho(x,y)=\sum_{n=N}^\infty 2^{-n}\frac {sup_{t\in[a+1/n,b-1/n]} |x(t) - y(t)|} {1+sup_{t\in[a+1/n,b-1/n]} |x(t) - y(t)|}$ задает в $C(a,b)$ топологию равномерной сходимости на компактных подмножествах интервала $(a,b)$ это топология, конечно, локально выпуклая;
про сходимость по мере я тоже не понял: такм где есть мера супремумов не бывает а бывает почти всюду и т.п.

 
 
 
 
Сообщение06.09.2008, 19:26 
zoo
$\mathfrak{S}$-топологией и называется топология равномерной сходимости на некотором семействе множеств $\mathfrak{S}$ в пространстве непрерывных отображений ( мне этот вопрос был интересен после Шефера "Т.В.П.", там это несколько подробнее описано ).

Спасибо, ясно.

 
 
 [ Сообщений: 11 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group