Пределы интегрирования в двойном интеграле

[artey]

Здравствуйте, дан двойной интеграл $\iint\limits_{\left| x \right| + \left| y \right| \leqslant 1} {\left| {xy(x + y)} \right|dxdy}$. Область интегрирования представляет собой квадрат . Значит пределы будут такими $\int\limits_{ - 1}^1 {\int\limits_{ - 1}^1 {\left| {xy(x + y)} \right|dxdy}$ ?

[Eule_A]

Нет. Так, как записали Вы, получится интегрирование по квадрату со сторонами, параллельными координатным осям.

[artey]

Область задана такими уравнениями $y \leqslant 1 - x,y \leqslant 1 + x,y \geqslant - 1 - x,y \geqslant x - 1$. Как теперь из них я могу пределы получить?

[Eule_A]

artey
Вы меня извините, но Вы хотя бы в один учебник анализа заглядывали? В любом из них в теме о двойных интегралах обязательно приводится и теорема соответствующая, и пара-тройка примеров её применения. Искать нужно что-то вроде перехода от двойного интеграла к повторному.

[artey]

Eule_A в сообщении #1427487 писал(а):

artey
Вы меня извините, но Вы хотя бы в один учебник анализа заглядывали? В любом из них в теме о двойных интегралах обязательно приводится и теорема соответствующая, и пара-тройка примеров её применения. Искать нужно что-то вроде перехода от двойного интеграла к повторному.

Я читал по этой теме и примеры смотрел, но те примеры понятны - обычно берется область ограниченная двумя кривыми и просвечивается "лазерной указкой" отсюда пределы и нашли. Аналогов своего примера не нашел, к сожалению. Я предполагаю, что пределы для $x$ будут такие $\ - 1 \leqslant x \leqslant 1$, а для $y$ либо $ - 1 - x \leqslant y \leqslant 1 - x$, либо $x - 1 \leqslant y \leqslant 1 + x$.

-- 24.11.2019, 19:38 --

Или так - взять 0 $\leqslant x \leqslant 1 $, а $x - 1 \leqslant y \leqslant 1 - x$, тогда повторный интеграл $2\int\limits_0^1 {dx} \int\limits_{x - 1}^{1 - x} {\left| {xy} \right|(x + y)dy}$

[Eule_A]

artey в сообщении #1427489 писал(а):

а для $y$ либо $ - 1 - x \leqslant y \leqslant 1 - x$, либо $x - 1 \leqslant y \leqslant 1 + x$.

Вот это точно неправильно. Вы подумайте: если первое интегрирование будет по переменной $y$, то $x$ фиксирован. Фиксированный $x$ - это вертикальная прямая. Вот проводите вертикальные прямые, пересекающие область интегрирования, снизу вверх. Куда "вошла" прямая - это будет нижний предел, откуда "вышла" - верхний. Если окажется, что в зависимости от значений $x$ "вход" и/или "выход" оказывается разным - значит, нужно выделять промежутки изменения $x$, на которых "вход" и "выход" один и тот же.

[artey]

Правильным будет, если выделить из исходной области правый верхний треугольник. Тогда порядок обхода этого треугольника будет такой $0 \leqslant y \leqslant 1 - x\, $0 \leqslant x \leqslant 1$. А так как всего треугольников 4 и они имеют одинаковую площадь, то интеграл примет вид $4\int\limits_0^1 {dx} \int\limits_0^{1 - x} {\left| {xy(x + y)} \right|dy} $

[eugensk]

artey
Одинаковая площадь здесь не при чем, раз у вас выражение под интегралом зависит от x,y. И для одного треугольника написано неправильно.

[Eule_A]

eugensk в сообщении #1427497 писал(а):

И для одного треугольника написано неправильно.

Написано для треугольника, в первой четверти расположенного (я о пределах интегрирования). Лучше для практики всё-таки для всей области написать.

(Оффтоп)

И буковки $x$ и $y$ нужно было бы как формулы оформить.

artey в сообщении #1427495 писал(а):

Правильным будет, если выделить из исходной области правый верхний треугольник. Тогда порядок обхода этого треугольника будет такой

Правильно будет на этом этапе просто аккуратно написать как есть, без фантазий. Для всей области интегрирования. И ещё, слово "обход" здесь лучше не применять бы.

[artey]

Eule_A в сообщении #1427493 писал(а):

Вот это точно неправильно. Вы подумайте: если первое интегрирование будет по переменной $y$, то $x$ фиксирован. Фиксированный $x$ - это вертикальная прямая. Вот проводите вертикальные прямые, пересекающие область интегрирования, снизу вверх. Куда "вошла" прямая - это будет нижний предел, откуда "вышла" - верхний. Если окажется, что в зависимости от значений $x$ "вход" и/или "выход" оказывается разным - значит, нужно выделять промежутки изменения $x$, на которых "вход" и "выход" один и тот же.

Вот так левый интеграл для левой полуобласти, а правый для правой $\int\limits_{ - 1}^0 {dx\int\limits_{ - 1 - x}^{1 + x} {\left| {xy(x + y)} \right|} } dy + \int\limits_0^1 {dx\int\limits_{x - 1}^{1 - x} {\left| {xy(x + y)} \right|} } dy$?

[Eule_A]

Так. А можно было с тем же успехом первое интегрирование проводить по переменной $x$, а второе - по переменной $y$. Ничем не хуже в этой задаче.

[artey]

Eule_A, спасибо за помощь!

[artey]

Мне теперь этот интеграл нужно вычислить методом Монте-Карло. Как это осуществить? Согласно методу область $D$ ограничивается вдоль $x$ отрезком $[a,b]$, а вдоль $y$ $[c,d]$. Значит для каждого из повторных интегралов из суммы выше, надо брать свою область и ее ограничивать отрезками. То есть для левого слагаемого областью будет фигура из 2 и 3 четвертей и ее ограничиваем вдоль $x$ отрезком $[a,b]=[-1,0]$, а вдоль $y$ отрезком $[c,d]=[-1,1]$, аналогично для второй фигуры (из 1 и 4 четверти)? И потом для каждого проводим вычисления по методу? Если я не прав, поправьте меня, пожалуйста.

[Someone]

artey в сообщении #1427570 писал(а):

Мне теперь этот интеграл нужно вычислить методом Монте-Карло. Как это осуществить?

Тогда лучше не разбивать область интегрирования на части и записать одним интегралом:

$$\int_a^bdx\int_{\varphi_1(x)}^{\varphi_2(x)}f(x,y)dy.$$

Или в обратном порядке.
В конце концов, употребление абсолютной величины в выражениях для пределов интегрирования не запрещено.

[artey]

Someone в сообщении #1427581 писал(а):

artey в сообщении #1427570 писал(а):

Мне теперь этот интеграл нужно вычислить методом Монте-Карло. Как это осуществить?

Тогда лучше не разбивать область интегрирования на части и записать одним интегралом:

$$\int_a^bdx\int_{\varphi_1(x)}^{\varphi_2(x)}f(x,y)dy.$$

Или в обратном порядке.
В конце концов, употребление абсолютной величины в выражениях для пределов интегрирования не запрещено.

Я в самом начале и хотел к такому виду привести, только пределы интегрирования не мог определить. Какими же тогда будут $a,b$ и $\[{\varphi _1}(x),{\varphi _2}(x)\]$?