Пронумеруем все узлы и запишем под каждым номером всех соседок его обитательницы. Понятно, что в этом списке 24 раза будут упомянуты Катеньки, 12 раз - Некатеньки. Поскольку каждая девочка является соседкой ровно у трех, то она трижды появляется в списке. То есть в паутину попались 8 Катенек и 4 Некатеньки.
Рассмотрим внешнее кольцо паутины. Пусть какая-то Некатенька находится в восточном узле. Тогда в северо-западном и юго-западном узлах этого же кольца обязаны быть Катеньки (иначе у северо- и юго-восточного узлов не более одной соседки-Катеньки).
Из этого следует, что, если в этом кольце есть еще одна Некатенька, то она расположена либо напротив (и, по тем же причинам, рядом с первой Некатенькой находятся две Катеньки), либо в одном из соседних узлов, тогда остальные - только Катеньки.
Отсюда следует вывод: в одном кольце может быть не более двух Некатенек, а всего в паутине - не более 4. Но их как раз 4! Следовательно, в каждом кольце ровно две Некатеньки, и имеют место две конфигурации: ННКККК и НККНКК.
В первом случае видно, что Катеньки на 4 и 5-й позициях уже заполучили в соседки по две Катеньки, значит, их соседками в другом кольце будут Некатеньки, то есть конфигурация повторится с точностью до поворота на 180 градусов: ННКККК-КККННК. Если считать, что конфигурации, переходящие друг в друга поворотом, считаются различными, то это 6 способов.
Во втором аналогично: каждая из Некатенек уже соседствует с двумя Катеньками, так что им недостает соседок-Некатенек, и второе кольцо получается точной копией первого: НККНКК-НККНКК. Здесь, в свою очередь, получается 3 способа.
Ответ: 2 либо 9 (смотря как считать).
Интересно, что если заменить в условии "две Катеньки" на "по крайней мере, две", тогда (в случае, если мы различаем конфигурации максимально) получится ровно 100 способов.
(Оффтоп)
Пусть внутреннее кольцо - ННКККК (в одной из 6 конфигураций). Тогда у узлов КННК известны по две соседки, во всех случаях это К и Н, значит, во внешнем кольце им соотвествуют обязательно КККК. Остается два узла, которые можно заполнить произвольно, одним из 4 способов. Всего 6х4, т.е. 24 способа. Аналогично для внешнего кольца, но в сумме будет 42, потому что шесть вариантов пересекаются.
Пусть теперь внутренее - НККНКК (в одной из 3 конфигураций). Аналогично, у каждой К известны соседки К и Н, значит, во внешнем кольце заполнены четыре К. Остаются два внешних узла, которые так же заполняются 4 различными способами. Всего - 12, плюс внешнее кольцо, итого 21.
Итак, если в хотя б одном кольце две Некатеньки, паутина заполнена 63 различными способами.
Пусть только две Некатеньки, но по одной в каждом кольце. Первая пусть находится в одном из 6 внешних узлов. Тогда для второй есть запретные узлы, значит - всего 24 способа.
Наконец, если у нас только одна Некатенька, ее мы можем поместить в один из 12 узлов.
Выходит, что если в паутину попалась хотя бы одна Некатенька, то для выполнения требуемого условия расположиться они могли 99 способами.
Наконец, если там только Катеньки, это дает нам сотый способ.
и 
; развернул для наглядности вложенные шестиугольники в "лесенку" с попарно соединенными противоположными концами и рассмотрел три варианта на одном из концов - 
; в варианте 
все форсировано, вариант 
дает два подварианта (достаточно поставить еще одну букву рядом с концом лесенки - 
или 
, и тоже все схлопывается), которые на самом деле переходят друг в друга вращением; любые варианты с 
совпадают с одним из ранее расмотренных