Минимальный объем при нагревании с переменной теплоемкостью

[yurasmolensk43]

Идеальный газ нагревают так, что молярная теплоемкость меняется по закону:

$c=c(T)=R\frac{T}{T_0}$, где $T_0$ - начальная температура газа. Нужно найти минимальный объем.

Вроде понятно, что объем будет минимальным, когда при рассмотрении бесконечно малого процесса работа газа равна нулю, то есть $dV=0$, отсюда из первого начала термодинамики $c=\frac{i}{2}R$

Но почему это соответствует минимальному объему? Ведь во время перехода от расширения до сжатия $dV=0$, то есть максимальному объему будет соответствовать то же значение молярной теплоемкости. Где ошибка?

[Pphantom]

Скорее не ошибка, а недоделка. У вас есть функция, определенная на некотором интервале (точнее, луче $[T_0,\infty)$), вы нашли ее локальный экстремум и считаете очевидным, что функция непрерывна. Разве этого достаточно, чтобы утверждать, что в точке локального экстремума будет достигаться глобальный минимум (или максимум)?

[druggist]

yurasmolensk43, а газ одноатомный?

[yurasmolensk43]

druggist
Да, одноатомный

[druggist]

Получается, что вначале газ сжимается, объем уменьшается, а когда теплоемкость достигнет значения $(i/2)R$, объем начинает увеличиваться?

[lel0lel]

Вопрос задачи поставлен так, что не обойтись без интегрирования дифференциального уравнения политропы с переменным показателем. Выпишу ответ для проверки:

$$V(T)=V_0 \left(\frac{T_0}{T}\right)^{3/2} e^{\frac{T-T_0}{T_0}}$$

[druggist]

lel0lel в сообщении #1426536 писал(а):

не обойтись без интегрирования

Да, видимо, не обойтись, хотя точку минимума $V$ можно определить из дифф. уравнения(или из общих соображений):

$$ \frac {c(T)-c_v}{R} \frac {dT}{T}=\frac {dV}{V}$$

$V_{\min} (T)$ будет, когда $c(T)-c_v=0$
Непонятно, почему в условии не задан $V_0$ начальный объем.

[Emergency]

druggist в сообщении #1426593 писал(а):

Непонятно, почему в условии не задан $V_0$ начальный объем.

Наверное потому что уравнение от него не зависит.

[DimaM]

Emergency в сообщении #1426646 писал(а):

Наверное потому что уравнение от него не зависит.

Зато от него зависит минимальный объем, который требуется найти.

[Emergency]

DimaM в сообщении #1426707 писал(а):

Зато от него зависит минимальный объем, который требуется найти.

Если в доле от исходного объема, то не зависит.

[druggist]

Emergency в сообщении #1426744 писал(а):

Если в доле от исходного объема, то не зависит.

Этот вопрос может прояснить только TS