непрерывно дифференцируемая функция на отрезке

[Paul Ivanov]

Есть такой вопрос: для любой ли непрерывно дифференцируемой на отрезке $[a,b]$ функции можно исчерпать всю длину отрезка $b-a$ вырезая из отрезка $[a,b]$ только такие отрезки, на которых функция либо строго монотонна, либо постоянна (буду дальше называть их простыми подотрезками). Иначе говоря любой ли гладкой функции на отрезке можно сопоставить множество непересекающихся (не считая разве что границ) простых подотрезков, сумма длин которых равна длине самого отрезка?
Честно говоря, разрываюсь в каком направлении двигаться, доказывать, что ответ - истина или, что ответ - ложь, походил уже в обе стороны и в обеих всё больно муторно.
Известно точно, что множество $P$ точек, не вошедших ни в один из простых подотрезков, не является плотным ни на каком произвольном подотрезке отрезка (можно называть $P$ канторовым в том смысле, что оно нигде не плотно), зато гипотетически это множество может обладать мощностью континуума, а коли так, то, наверное, с грехом пополам можно как-то построить такую функцию, длину области определения которой нельзя исчерпать простыми подотрезками, но в то же время мне кажется, что всё же это множество должно быть счётным (благодаря каким-то свойствам гладкой функции, которые я не смог извлечь), то бишь быть множеством меры нуль, а дальше тогда примерно понятен путь доведения доказательства до конца.
Прошу посоветовать, по какому пути пойти и как покрасивей разобраться до конца. Может есть какая литература, в которой можно найти ответ?

[Sicker]

Paul Ivanov
Если мощность множества таких отрезков счетно, то ответ на вашу задачу положительный?
Тогда ответ истина, я думаю надо копать в направлении счетности точек экстремума у такой функции

[Paul Ivanov]

Ну хорошо, но всё равно главный вопрос в том, как доказать, что это множество счётно. Потому что ничто из того, что я откопал, не мешает ему быть канторовым несчётным.

[Утундрий]

Paul Ivanov в сообщении #1426337 писал(а):

разрываюсь в каком направлении двигаться, доказывать, что ответ - истина или, что ответ - ложь, походил уже в обе стороны и в обеих всё больно муторно.

Попробуйте двигаться в сторону смысла. Вам так уж сильно нужно именно сейчас решить задачу, по вашему же признанию, находящуюся за пределами ваших возможностей?

[vpb]

Утундрий
Сверхсложного в этой задаче нет, но подумать надо.

Paul Ivanov
Ответ там отрицательный. В смысле, есть контрпример. Есть такое "жирное канторово множество" (замкнутое, нигде не плотное, положительной меры). Вот его надо использовать.

-- 16.11.2019, 23:18 --

Да и вообще это задача отчасти из ТФДП, потому что надо иметь некоторое понятие о "мере". Так что может и правда лучше отложить.

[pogulyat_vyshel]

vpb в сообщении #1426352 писал(а):

Ответ там отрицательный. В смысле, есть контрпример. Есть такое "жирное канторово множество" (замкнутое, нигде не плотное, положительной меры). Вот его надо использовать.

Вы эту мысль не могли бы подробней изложить?

[Paul Ivanov]

vpb, то, что существует канторово множество, нигде не плотное, положительной меры, мне как раз ясно, но с чего вы взяли, что можно построить гладкую функцию так, чтобы множество точек, не попавших в простые подотрезки, совпадало с этим "жирным" канторовым множеством?

[pogulyat_vyshel]

вроде бы можно построить непрерывную неотрицательную функцию, которая равна нулю на этом канторовом множестве и только на нем. эта непрерывная функция будет производной искомой функции для контрпримера

[mihaild]

pogulyat_vyshel в сообщении #1426385 писал(а):

эта непрерывная функция будет производной искомой функции для контрпримера

Не будет - интеграл от этой функции будет строго возрастающим (функция может строго возрастать и в нулях производной). Возьмем разные точки $x$ и $y$, между ними есть точка не из канторова множества, производная нашей функции в этой точке больше нуля, так что значение в правой точке больше значения в левой.

Но вот если взять функцию такую что в любой окрестности точек канторова множества есть и положительные и отрицательные значения, то всё уже срастется. Как черный ящик канторово множество для этого использовать вроде бы не получится, но если посмотреть на его построение, должно быть понятно (если точка из канторова множества, то в любой её окрестности есть куча выкинутых при построении множества интервалов).

[vpb]

Дабы не портить удовольствие ТС, поместим под спойлер.

(Решение)

Строим так. Берем жирное канторово множество, т.е. замкнутое, нигде не плотное множество положительной меры. Определим функцию на исходном сегменте. Именно, на канторовом множестве это нуль. На любом из дополнительных интервалов это некая функция, которая (а) непрерывна, (б) на концах интервала стремится к нулю, (в) принимает на этом интервале как положительные, так и отрицательные значения, и (г) по модулю не превосходит, скажем, длины интервала. Легко видеть, что любая такая функция непрерывна на $[a,b]$. Берем от нее первообразную. Это и есть то, что надо.

[ewert]

А зачем интегрировать? Есть же классический пример функции, всюду дифференцируемой, с производной ограниченной, но не интегрируемой по Риману -- поскольку множество её точек разрыва имеет ненулевую меру. Берём жирное канторово множество, полагаем на нём функцию равной нулю, а на каждый интервал дополнения сажаем подходящий неотрицательный колокольчик. Тогда каждая точка канторова множества будет заодно и точкой минимума, участками же монотонности будут только полуинтервалы дополнения.

Теперь нам нужна гладкость, да? -- ну так просто изуродуем этот пример, уменьшив соответствующим образом высоты колокольчиков так, чтобы производная стала непрерывной.

-- Вс ноя 17, 2019 17:38:07 --

vpb в сообщении #1426352 писал(а):

Да и вообще это задача отчасти из ТФДП, потому что надо иметь некоторое понятие о "мере".

Кстати, не нужно. Понятие "мера канторова множества" вполне можно использовать как жаргон -- интересует-то нас только сумма длин дополнения, а она понятия меры не требует.

[Paul Ivanov]

Спасибо, разобрался.

[g______d]

mihaild в сообщении #1426391 писал(а):

Как черный ящик канторово множество для этого использовать вроде бы не получится

Можно так (немного более явный аналог конструкции vpb): дополнение к канторову множеству -- это объединение счётного количества интервалов. Назначим каждому интервалу $+1$ или $-1$ таким образом, чтобы в любой окрестности любой точки канторова множества было бесконечно много интервалов с обоими знаками. После этого введём функцию, равную расстоянию до канторова множества, умноженную на соотвествующий знак. Её первообразная будет нужной функцией.

Впрочем, существует и аналог функции ewert. Кажется, называется "регуляризованное расстояние": это неотрицательная гладкая функция, равная нулю в точности на данном замкнутом множестве, с какими-то ещё свойствами. Статьи в википедии не нашёл, но помню, что она строилась в книге Стейна "Сингулярные интегралы и дифференциальные свойства функций".

[ewert]

На самом-то деле ситуация тривиальна. Сажаем на каждый интервал дополнения по неотрицательному колокольчику с единичным (для определённости) максимальным значением. Или, что эквивалентно -- представляем эту функцию как сумму ряда, составленного из этих колокольчиков.

Пока что эта сумма разрывна. Однако если умножить члены ряда на достаточно быстро убывающую числовую последовательность (скажем, на $\frac1{n^2}$, где $n$ -- порядковый номер члена), то на разные там монотонности суммы это ровно никак не повлияет, но функция станет непрерывной из-за равномерной сходимости ряда. А если ещё быстрее, то равномерно начнёт сходиться и ряд из производных, т.е. функция станет непрерывно дифференцируемой. Ну и при желании легко добиться даже её бесконечной дифференцируемости (если, конечно, сами колокольчики взять бесконечно дифференцируемые).

А вот желание поинтегрировать меня удивляет. Это из серии "как вскипитить воду в чайнике, если он уже заполнен водой и поставлен на плиту". Берём пресловутый колокольчик и дифференцируем его, чтобы обеспечить знакопеременность. Ну а потом, после подстановки -- результат интегрируем, естественно.

[vpb]

ewert в сообщении #1426524 писал(а):

А вот желание поинтегрировать меня удивляет.

Однако, почленное дифференцирование рядов --- вещь достаточно сложная ! Во всяком случае, ТС до нее пока не дошел. И в любом случае, там технических деталей будет больше, как мне видится.