Школьный курс геометрии со строгим изложением

[novichok2018]

А кому и зачем нужно в школе строгое изложение основ геометрии?

[arseniiv]

beroal
Вообще говоря можно взять и какую-то ещё аксиоматику, тем более что аксиомы векторного пространства описывают не аффинное пространство, а в школьной геометрии оно. Можно строить аффинное как principal homogeneous space для векторного, а можно попытаться добавить к аксиомам абелевой груды так, как векторное пространство добавляет к абелевой группе, и даже как операция груды, так и дополнительная операция, аналогичная умножению на скаляр — здесь это будет гомотетия — довольно натуральна (хотя можно подумать и о чём-то столь же выразительном, возможно о большем числе операций с более приземлёнными смыслами, etc. etc.). А, ну проблемы у меня были лишь при добавлении скалярного произведения (выходило не очень складно вроде, хотя должно было всё выразиться как следует), и ещё я хотел описать это как груду со специальной структурой, ещё до добавления скалярного произведения, но у меня вышла проблема, которой с векторным пространством нет, и я решил, что усилий обходить её делать не стоит и оставил как есть в виде кучки отдельных аксиом.

Мало того, даже более традиционных аксиоматик к нашему времени уже пруд пруди наделали, возьмём ту же Тарского, она не так уж страшна большей частью, а где страшна, в том же месте и другие обычно не блещут, если там вообще не дыра (если брать и неформальные аксиоматики из обычных школьных учебников; не помню что там у Колмогорова было).

-- Вс ноя 17, 2019 00:09:58 --

Кстати об интуиции: по-моему современная цифровая техника даёт много дополнительных примеров как раз о том, как себя ведут движения и конформные аффинные преобразования плоскости (покрутим фотографию или картинку в графическом редакторе, и дефолтный редактор с такими функциями есть сейчас в каждом телефоне, так что мало-мальски любопытный школьник хоть пару раз да и повертел там что-нибудь и посдвигал и порастягивал). И вообще я не уверен, что интуитивное представление, что куда перейдёт и что сохранится, трудно наработать; обычный учебник и не освещает это толком, и то лишь к концу школы — немудрено, что те, кто не пытался сам разбираться и забегать вперёд, не наберут этих примеров заранее и не будут иметь картинки, что и может быть потом отражено в тестах. Между тем с трёхмерным евклидовым пространством мы сталкиваемся постоянно с начала жизни, и просто не знаем геометрических абстракций, которые лет может в семь будет и трудно усвоить, но позже, когда машина раскочегарится, примеров уже должно быть достаточно. Об отражении в плоскости можно вполне научиться правильно судить, наигравшись с зеркалами. Во вращении вполне можно разбираться, даже покрутившись в комнате. Можно даже композицию параллельного переноса и поворота освоить, если есть достаточно большая комната, ходя по ней и поворачиваясь, и представив, что поворачивается и переносится весь мир и аккуратно записывая ходы.

[beroal]

vpb в сообщении #1426326 писал(а):

А чтоб понять, что такое векторы, надо знать как минимум свойства параллелограмма, и вообще основы классической школьной геометрии.

Обязательно знать, нельзя ввести вектор как фундаментальное понятие? Дело в том, что в традиционном курсе геометрии точки вводятся как фундаментальные понятия. Если без теории множеств, тогда прямые тоже вводятся как фундаментальные понятия. То есть их определяют через аксиомы и практические примеры (черчение). Точки и прямые можно, а вектора нельзя?

Практическое определение вектора — стрелка на бумаге. Вектор — это стрелка, имеющая длину и направление. Где она начинается, не важно. То есть разные стрелки на бумаге могут обозначать один и тот же вектор, и это можно считать свидетельством, что вектора более абстрактны, чем точки и прямые. Это я признаю. Хотя точки и прямые тоже абстракции. Точка не пятнышко на бумаге, строго говоря. Как-то школьники выдюживают эту абстракцию.

arseniiv в сообщении #1426330 писал(а):

Вообще говоря можно взять и какую-то ещё аксиоматику, тем более что аксиомы векторного пространства описывают не аффинное пространство, а в школьной геометрии оно.

Я намекал на аксиомы аффинного пространства (над некоторым векторным пространством). По-моему, они вполне стандартны. Но решил не упоминать здесь об аффинном пространстве, чтобы не пугать публику из вопросов преподавания, так как она к любой дополнительной абстракции относится крайне настороженно.

[Munin]

vpb в сообщении #1426326 писал(а):

Чтоб была интуиция по какому-то вопросу, нужно знать примеры. Самый главный пример векторного пространства --- геометрические векторы.

Ну, я думаю, школьнику всё-таки стоит сразу сказать, что есть и другие примеры:
- $\{0\}$
- $\mathbb{R}$
- пары чисел
- функции (на единственном известном школьникам примере $\mathbb{R}\to\mathbb{R}$
потом более продвинутому школьнику можно добавить:
- параллельные переносы плоскости или пространства
- многочлены, или хотя бы такие примеры как: линейные двучлены, квадратные трёхчлены, вообще многочлены от одной переменной
матшкольникам:
- $\mathbb{C}$
- $\mathbb{Q}$ (над $\mathbb{Q},$ разумеется)

Изоморфизмы некоторых из этих примеров - по вкусу. И дальнейшие рассуждения о том, различать ли изоморфные между собой конструкции.

-- 16.11.2019 23:17:46 --

arseniiv в сообщении #1426330 писал(а):

а где страшна, в том же месте и другие обычно не блещут, если там вообще не дыра

А это про какое место?

[vpb]

beroal в сообщении #1426338 писал(а):

Точки и прямые можно, а вектора нельзя?

Да, конечно, именно так: точки и прямые можно, а векторы нельзя. Любой учитель и математик в здравом уме это подтвердит. И вообще вы как-то непоследовательны: то сетуете, что "школьная геометрия учит не рассуждать, а полагаться на картинки" (не помню дословно, как вы выразились), то предлагаете вводить векторы просто так.

[arseniiv]

Munin в сообщении #1426339 писал(а):

А это про какое место?

Какая-нибудь аксиома Паша. Сейчас проверю.

-- Вс ноя 17, 2019 02:22:21 --

Хм, нет, там много довольно неинтуитивных аксиом, но притом вроде это всё не настолько страшно как мне казалось.

-- Вс ноя 17, 2019 02:25:37 --

vpb
Я бы тогда вместо прямых оставил только отрезки и говорил, например, о наложимости отрезков. Это будет неуклюже, но зато никаких бесконечных фигур. Для измерения углов тоже будет достаточно отрезков, если только исключить в этом случае одноточечные (как многие и делают заранее прям в определении отрезка, что мне лично не нравится: точки — замкнутые множества, отрезки тоже, и странно исключать такой удобный частный случай).

-- Вс ноя 17, 2019 02:26:26 --

arseniiv в сообщении #1426353 писал(а):

о наложимости отрезков

Скорее более удачным термином были бы «совместимость» или «взаимное продолжение».

[vpb]

arseniiv в сообщении #1426353 писал(а):

Я бы тогда вместо прямых оставил только отрезки и говорил, например, о наложимости отрезков

Вроде, есть такой подход, емнип. (А.Д.Александрова). Точно не помню. Мне это не нравится.

[Munin]

arseniiv в сообщении #1426353 писал(а):

там много довольно неинтуитивных аксиом

Довольно странный выверт, если подумать. Геометрия начиналась с того, чтобы очевидные вещи принимать за аксиомы, а неочевидные из них выводить. Если мы делаем наоборот, то есть ли в этом смысл и польза? Для математики, может быть, и есть, а для преподавания (особенно школьного) - сомнительно.

[arseniiv]

Вообще я надеялся, что вы сами посмотрите и скажете, что, нет, они достаточно интуитивны. По крайней мере отношение конгруэнтности отрезков и отношение «точка лежит на отрезке, заданном двумя другими» весьма даже интуитивны, но если не вводить дополнительных понятий, некоторые аксиомы, записанные через два эти исходные отношения, хотя бы на первый взгляд будут выглядеть длинными. На самом деле мне вчера лень было как следует перечитать ту аксиоматику, я поглядел-поглядел и закрыл, но я и надеялся, что кто-то ещё тоже своими глазами посмотрит и контраргумент какой-нибудь даст, например.

[Munin]

Мне и вчера было лень, и сегодня лень, и в ближайшие годы будет лень. Извинитя.

(Не лень мне было узнать одну классную штуку, которая и вам может понравиться. В какой теме про дифформы поболтать?)

[arseniiv]

(Оффтоп)

В какой сочтётся более подходящим — мне без разницы!