Нахождение вектора момента импульса системы

[ValfennayaVaflaya]

Два маленьких шарика массы $m$ каждый, закрепленных на легкой штанге длины $l$,
вращаются с угловой скоростью $\omega$ вокруг фиксированной оси, проходящей через центр
штанги (т. О) под углом $\alpha$ к ней. Найти направление и модуль вектора момента импульса
системы относительно т. О в произвольный момент времени.



Ответ: $|\vec{L}| = \frac{1}{2}m\omega l^2 \sin{\alpha}$, перпендикулярно стержню в плоскости рисунка.

Подскажите, где ошибка в этом решении, и как определить направление вектора момента импульса, пожалуйста.
Спасибо!

$\vec{L} = \vec{r}\times\vec{p}$

$\vec{L} = \vec{L_1} + \vec{L_2}$
$\vec{L_1}$ - момент импульса первого шарика,
$\vec{L_2}$ - момент импульса второго шарика;

$\vec{L} = \vec{r_1}\times\vec{p_1} + \vec{r_2}\times\vec{p_2} = $

$ = \vec{r_1}\times m\vec{v_1} + \vec{r_2}\times m\vec{v_2} = $

$ = m(\vec{r_1}\times\vec{v_1} + \vec{r_2}\times\vec{v_2}) = $

$ = m(\vec{r_1}\times(\vec{\omega}\times\vec{r_1}) + \vec{r_2}\times(\vec{\omega}\times\vec{r_2})) = $

$ = m(\vec{\omega}|\vec{r_1}|^2 - \vec{r_1}(\vec{r_1},\vec{\omega}) + \vec{\omega}|\vec{r_2}|^2 - \vec{r_2}(\vec{r_2},\vec{\omega})) = $

Так как $\vec{r_2} = -\vec{r_1}$, то

$ = 2m(\vec{\omega}|\vec{r_1}|^2 - \vec{r_1}(\vec{r_1},\vec{\omega})).$

Проекция на направление оси вращения $z$:

$L_z = 2m(0 - r_1\cos{\alpha}\cdot r_1\omega\cos{\alpha}) = $

Так как $r_1 = \frac{l}{2}$, то

$ = -\frac{1}{2}m\omega l^2\cos^2{\alpha}$

[Pphantom]

ValfennayaVaflaya в сообщении #1424946 писал(а):

Проекция на направление оси вращения $z$:

До этого момента все нормально, а дальше начались странности. Во-первых, почему вы рассматриваете только одну проекцию? Во-вторых, куда при этом делся первый член в скобках (он на самом деле не равен нулю)?

[ValfennayaVaflaya]

Проекция на горизонтальную ось $x$:

$L_x = 2m(0 + r_1\sin{\alpha}\cdot r_1\omega(-\cos{\alpha})) = -2m\omega r_1^2\sin{\alpha}\cos{\alpha}$

Проекция на вертикальную ось $z$:

$L_z = 2m(-\omega r_1^2 + r_1\cos{\alpha}\cdot r_1\omega\cos{\alpha}) = -2m\omega r_1^2\sin^2{\alpha}$

$L = \sqrt{L_x^2 + L_y^2} = 2m\omega r_1^2\sin{\alpha}$

$\varphi$ - угол между $L$ и $L_x$

$\tg{\varphi} = \frac{L_z}{L_x} = \tg{\alpha} \Rightarrow \varphi = \alpha$

Значит, $\vec{L}\perp\vec{r_1}$

Спасибо за помощь!

[Pphantom]

Да, теперь все правильно.