2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Выражение энергии через функцию Лагранжа
Сообщение05.11.2019, 16:38 
Аватара пользователя


11/10/19
31
Здравствуйте, читая Ландавшица Т.1 Механика, я наткнулся на следующее:
(В дальнейшем $q_i$ - обобщенные координаты, где $i = 1, 2, 3... s$; $s$ -количество степеней свободы)
Л.Д.Ландау Е.М.Лифшиц Теоретическая физика Том 1, п.6 писал(а):
...В силу однородности времени лагранжева функция замкнутой системы не зависит явно от времени. Поэтому полная производная функции Лагранжа по времени может быть записана таким образом:

$\frac{dL}{dt} = \sum\limits_{i}\frac{\partial L}{\partial q_i}dq_i + \sum\limits_{i}\frac{\partial L}{\partial\dot{q_i}}d\dot{q_i}$

Заменяя производные $\frac{\partial L}{\partial q_i}$ согласно уравнениям Лагранжа, на $\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial\dot{q_i}}$получим:

$\frac{dL}{dt} = \sum\limits_{i}\frac{d}{dt}(\frac{\partial L}{\partial\dot{q_i}}\dot{q_i})$

или

$\frac{d}{dt}(\sum\limits_{i}\dot{q_i}\frac{\partial L}{\partial\dot{q_i}}-L) = 0$

$E=\sum\limits_{i}\dot{q_i}\frac{\partial L}{\partial\dot{q_i}}-L$


Далее автор начинает преобразование полученного выражения:

Л.Д.Ландау Е.М.Лифшиц Теоретическая физика Том 1, п.6 писал(а):
...Известно что лагранжева функция замкнутой системы имеет вид:

$L=T(q,\dot{q})-U(q)$,

где T - квадратичная функция скоростей. Применяя к ней известную теорему Эйлера об однородных функциях, получим:

$\sum\limits_{i}\dot{q_i}\frac{\partial L}{\partial\dot{q_i}} = \sum\limits_{i}\dot{q_i}\frac{\partial T}{\partial\dot{q_i}} = 2T$

Отсюда:

$E=T(q,\dot{q})+U(q)$


Вопрос:

Как он так применил эту теорему? Ведь функция Лагранжа вроде как даже неоднородная.
Ещё почему T явно зависит от координаты? Почему при использовании теоремы дифференцирование производится только по скоростям?

Если бы я хотел привести выражение для энергии к должному виду, то делал бы так:

$T=T(\dot{q)}$ - прямопропорциональна квадрату скорости.

Значит подставляем функцию Лагранжа в выражение:

$E=\sum\limits_{i}\dot{q_i}\frac{\partial L}{\partial\dot{q_i}}-L$

Т.к. $U$ не зависит от скоростей, то получаем:

$E=T(q,\dot{q})+U(q)$

Есть ли тут ошибка?

 Профиль  
                  
 
 Re: Выражение энергии через функцию Лагранжа
Сообщение07.11.2019, 11:34 


06/11/19
6
Euler-Maskerony в сообщении #1424160 писал(а):
Здравствуйте, читая Ландавшица Т.1 Механика, я наткнулся на следующее:


Однородная функция относительно квадрата $\dot q$ имеется ввиду такая:
$T=A_1(q_1,q_2,...,q_s)\,\dot q_1^2+A_2(q_1,q_2,...,q_s)\,\dot q_2^2+....+A_s(q_1,q_2,...,q_s)\,\dot q_s^2$

 Профиль  
                  
 
 Re: Выражение энергии через функцию Лагранжа
Сообщение07.11.2019, 12:23 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


31/01/14
9397
Hogtown
boob в сообщении #1424500 писал(а):
Однородная функция относительно квадрата $\dot q$ имеется ввиду такая:
Неверно. Любая квадратичная форма от $\dot{q}$ с коэффициентами зависящими от $q$

 Профиль  
                  
 
 Re: Выражение энергии через функцию Лагранжа
Сообщение07.11.2019, 16:34 
Аватара пользователя


31/08/17
1607
Общий вид лагранжиана системы классической механики следующий $L=L_2+L_1+L_0$ где $L_2$ -- положительно определенная квадратичная форма скоростей, $L_1$ -- линейная форма скоростей, $L_0$ от скоростей не зависит. $L_0$ и коэффициенты форм зависят от $q,t$

-- 07.11.2019, 17:36 --

Если лагранжиан не зависит от времени то $H=L_2-L_0$ -- интеграл энергии

 Профиль  
                  
 
 Re: Выражение энергии через функцию Лагранжа
Сообщение07.11.2019, 17:35 
Аватара пользователя


11/10/19
31
pogulyat_vyshel в сообщении #1424553 писал(а):
Общий вид лагранжиана системы классической механики следующий $L=L_2+L_1+L_0$ где $L_2$ -- положительно определенная квадратичная форма скоростей, $L_1$ -- линейная форма скоростей, $L_0$ от скоростей не зависит. $L_0$ и коэффициенты форм зависят от $q,t$


Вот как. В таком случае, что с однородностью относительно $\dot{q}$? Всё ещё непонятно, почему можно использовать теорему об однородности, когда есть члены второй, первой и нулевой степени.

 Профиль  
                  
 
 Re: Выражение энергии через функцию Лагранжа
Сообщение08.11.2019, 16:39 
Заслуженный участник


03/01/09
1373
москва
$$\sum \limits _i\dot q_i\dfrac {\partial L}{\partial \dot q_i}=\sum \limits _i\dot q_i\dfrac {\partial L_2}{\partial \dot q_i}+\sum \limits _i\dot q_i\dfrac {\partial L_1}{\partial \dot q_i}=
2L_2+L_1$$Отсюда: $E=2L_2+L_1-L=L_2-L_0$.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение08.11.2019, 23:31 
Аватара пользователя


11/10/19
31
Кажется, разобрался. Всем спасибо за пояснения.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 7 ] 

Модераторы: Jnrty, whiterussian, profrotter, Парджеттер, Eule_A, Pphantom, photon, Aer, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group