Выражение энергии через функцию Лагранжа

[Euler-Maskerony]

Здравствуйте, читая Ландавшица Т.1 Механика, я наткнулся на следующее:
(В дальнейшем $q_i$ - обобщенные координаты, где $i = 1, 2, 3... s$; $s$ -количество степеней свободы)

Л.Д.Ландау Е.М.Лифшиц Теоретическая физика Том 1, п.6 писал(а):

...В силу однородности времени лагранжева функция замкнутой системы не зависит явно от времени. Поэтому полная производная функции Лагранжа по времени может быть записана таким образом:

$\frac{dL}{dt} = \sum\limits_{i}\frac{\partial L}{\partial q_i}dq_i + \sum\limits_{i}\frac{\partial L}{\partial\dot{q_i}}d\dot{q_i}$

Заменяя производные $\frac{\partial L}{\partial q_i}$ согласно уравнениям Лагранжа, на $\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial\dot{q_i}}$получим:

$\frac{dL}{dt} = \sum\limits_{i}\frac{d}{dt}(\frac{\partial L}{\partial\dot{q_i}}\dot{q_i})$

или

$\frac{d}{dt}(\sum\limits_{i}\dot{q_i}\frac{\partial L}{\partial\dot{q_i}}-L) = 0$

$E=\sum\limits_{i}\dot{q_i}\frac{\partial L}{\partial\dot{q_i}}-L$

Далее автор начинает преобразование полученного выражения:

Л.Д.Ландау Е.М.Лифшиц Теоретическая физика Том 1, п.6 писал(а):

...Известно что лагранжева функция замкнутой системы имеет вид:

$L=T(q,\dot{q})-U(q)$,

где T - квадратичная функция скоростей. Применяя к ней известную теорему Эйлера об однородных функциях, получим:

$\sum\limits_{i}\dot{q_i}\frac{\partial L}{\partial\dot{q_i}} = \sum\limits_{i}\dot{q_i}\frac{\partial T}{\partial\dot{q_i}} = 2T$

Отсюда:

$E=T(q,\dot{q})+U(q)$

Вопрос:

Как он так применил эту теорему? Ведь функция Лагранжа вроде как даже неоднородная.
Ещё почему T явно зависит от координаты? Почему при использовании теоремы дифференцирование производится только по скоростям?

Если бы я хотел привести выражение для энергии к должному виду, то делал бы так:

$T=T(\dot{q)}$ - прямопропорциональна квадрату скорости.

Значит подставляем функцию Лагранжа в выражение:

$E=\sum\limits_{i}\dot{q_i}\frac{\partial L}{\partial\dot{q_i}}-L$

Т.к. $U$ не зависит от скоростей, то получаем:

$E=T(q,\dot{q})+U(q)$

Есть ли тут ошибка?

[boob]

Euler-Maskerony в сообщении #1424160 писал(а):

Здравствуйте, читая Ландавшица Т.1 Механика, я наткнулся на следующее:

Однородная функция относительно квадрата $\dot q$ имеется ввиду такая:
$T=A_1(q_1,q_2,...,q_s)\,\dot q_1^2+A_2(q_1,q_2,...,q_s)\,\dot q_2^2+....+A_s(q_1,q_2,...,q_s)\,\dot q_s^2$

[Red_Herring]

boob в сообщении #1424500 писал(а):

Однородная функция относительно квадрата $\dot q$ имеется ввиду такая:

Неверно. Любая квадратичная форма от $\dot{q}$ с коэффициентами зависящими от $q$

[pogulyat_vyshel]

Общий вид лагранжиана системы классической механики следующий $L=L_2+L_1+L_0$ где $L_2$ -- положительно определенная квадратичная форма скоростей, $L_1$ -- линейная форма скоростей, $L_0$ от скоростей не зависит. $L_0$ и коэффициенты форм зависят от $q,t$

-- 07.11.2019, 17:36 --

Если лагранжиан не зависит от времени то $H=L_2-L_0$ -- интеграл энергии

[Euler-Maskerony]

pogulyat_vyshel в сообщении #1424553 писал(а):

Общий вид лагранжиана системы классической механики следующий $L=L_2+L_1+L_0$ где $L_2$ -- положительно определенная квадратичная форма скоростей, $L_1$ -- линейная форма скоростей, $L_0$ от скоростей не зависит. $L_0$ и коэффициенты форм зависят от $q,t$

Вот как. В таком случае, что с однородностью относительно $\dot{q}$? Всё ещё непонятно, почему можно использовать теорему об однородности, когда есть члены второй, первой и нулевой степени.

[mihiv]

$$\sum \limits _i\dot q_i\dfrac {\partial L}{\partial \dot q_i}=\sum \limits _i\dot q_i\dfrac {\partial L_2}{\partial \dot q_i}+\sum \limits _i\dot q_i\dfrac {\partial L_1}{\partial \dot q_i}= 2L_2+L_1$$

Отсюда: $E=2L_2+L_1-L=L_2-L_0$.

[Euler-Maskerony]

Кажется, разобрался. Всем спасибо за пояснения.