Преломление света в 4-х мерном мире (что почитать?)

[Xmas]

realeugene в сообщении #1424384 писал(а):

Только $\lim_{x\to0}\;x E(x) = ?$.

Вы всерьёз считаете это выражение "аккуратным и математически строгим" ?

Вот вопрос: а если границы щели будут 1) абсолютно проводящие; 2) бесконечно магнитно-проницаемые;

Тогда волна будет состоять из двух скаляров или из двух векторов?

[realeugene]

Xmas в сообщении #1424391 писал(а):

Вы всерьёз считаете это выражение "аккуратным и математически строгим" ?

Вы в этом выражении увидели взятый предел? Я вам показал, в чём состояла ваша ошибка. Разумеется, без дополнительных предположений о поведении функции $E(x)$ в нуле этот предел взять нельзя.

-- 06.11.2019, 20:19 --

Xmas в сообщении #1424391 писал(а):

Тогда волна будет состоять из двух скаляров или из двух векторов?

Понятия не имею. Вы придумали такую модель - вы с ней и разбирайтесь.

[arseniiv]

realeugene в сообщении #1424343 писал(а):

Поперечность волны в пятимерии - это очевидная гипотеза?

Хм, ну если мы хотим говорить о чём-то «элекромагнитном», то поперечность обязательна, потому что электромагнитное поле безмассовое, а у безмассового нет продольной поляризации. И вроде можно каким-то другим эквивалентным способом к тому же прийти. Ну или в любом случае просто берём уравнения Максвелла в инвариантной форме и просто меняем размерность на другую.

upgrade в сообщении #1424346 писал(а):

И в двумерии - затрудняюсь представить вектора электрической и магнитной напряженности при прямолинейном распространении...какому-то из них совсем мало места, например, как выглядит векторное произведение электрической и магнитной напряженности..

upgrade в сообщении #1424355 писал(а):

Я не про картинки, а про векторное произведение в двумерном пространстве.

В (2+1)-мерном мире магнитное поле не псевдовектор, а псевдоскаляр. Как и угловая скорость и момент импульса. (Потому что все они на самом деле бивекторы.) Векторное произведение превращается в «псевдоскалярное произведение» (опять же потому что по-нормальному это внешнее произведение). Так что берёте нормальные инвариантные определения и уже оттуда выводите всё, а не пытаетесь применить векторное произведение, которого уже нет, к вектору и псевдовектору, которого тоже уже нет.

А в пятимерном мире электрический кусок поля для некоторой ИСО будет векторным полем (как вообще в любой размерности), а магнитное поле будет бивекторным (опять как обычно в любой размерности) о шести компонентах, не четырёх.

Dmitriy40 в сообщении #1424361 писал(а):

Хм, это что, я прогнал и в плоскости ЭМ волн в принципе не существует что ли?

В (2+1)-мерии ещё существуют, в (1+1)-мерии остаётся однокомпонентное электрическое поле и никакого магнитного, так что вот в нём уже вроде всё. (Ну правильно, вспомним ту же поперечность — а в одномерии нет двух ортогональных ненулевых векторов.)

-- Ср ноя 06, 2019 23:33:01 --

realeugene
Ого, интересно, что с зазорами получаются две разные модели! В «истинном» (2+1)-мерии только одна (как выше), и там никак ничего не поменяешь.

[realeugene]

arseniiv в сообщении #1424418 писал(а):

А в пятимерном мире электрический кусок поля для некоторой ИСО будет векторным полем (как вообще в любой размерности), а магнитное поле будет бивекторным (опять как обычно в любой размерности) о шести компонентах, не четырёх.

Пусть пространство 4+1. В нём бежит плоская гармоническая электромагнитная волна единичной амплитуды напряженности электрического поля и нулевой фазы в начале координат. Тогда три базисных вектора фиксированы: время, волновой вектор и направление напряженности электрического поля. В комплекснозначном представлении магнитное поле, при этом, должно получаться из некоторой неоднородной системы линейных алгебраических уравнений. В (3+1)-мерии эта система разрешима и даёт нам однозначное решение. Какова размерность фундаментального решения этой системы в (4+1)-мерии?

Правильна ли моя догадка, что эта размерность равна 1, т. е. в (4+1)-мерии могут бежать две различные волны: смешанная электромагнитная и чисто магнитная, и тогда однородная изотропная среда должна характеризоваться двумя различными показателями преломления, и на границах между средами эти моды, в принципе, смогут перетекать одна в другую? Как быть со скоростью света вакууме?

UPD Или же эта размерность, даже, больше 1, т. е. могут бежать несколько различных магнитных мод? Откровенно говоря, я сейчас не очень представляю, как именно выглядит магнитное поле в (4+1)-мерии.

[arseniiv]

realeugene в сообщении #1424426 писал(а):

В комплекснозначном представлении магнитное поле, при этом, должно получаться из некоторой неоднородной системы линейных алгебраических уравнений. В (3+1)-мерии эта система разрешима и даёт нам однозначное решение. Какова размерность фундаментального решения этой системы в (4+1)-мерии?

Вот тут не знаю; я даже не знаю, какая имеется в виду система уравнений.

realeugene в сообщении #1424426 писал(а):

Как быть со скоростью света вакууме?

По идее она не должна никак отличаться от $c$, не вижу как бы те вещи влияли.

realeugene в сообщении #1424426 писал(а):

Откровенно говоря, я сейчас не очень представляю, как именно выглядит магнитное поле в (4+1)-мерии.

М, ну я тоже скорее всего представляю только на уровне того, как оно должно действовать на заряд, и вот тех простых геометрических свойств, но серьёзно, почему бы не вывести уравнения для $\mathbf E, B$ из уравнений для тензора $F$ (или 4- уже 5-потенциала) и это должно дать какую-то интуицию. (Я до этого скорее всего долго буду доходить. Эх, Munin где-то там, вдруг бы его заинтересовало…)

[realeugene]

arseniiv в сообщении #1424436 писал(а):

По идее она не должна никак отличаться от $c$, не вижу как бы те вещи влияли.

Потому что у нас же не кванты, а классическая электродинамика. И если вдруг появляются несколько плоских мод в вакууме, которые невозможно привести друг в друга с использованием симметрий пространства, то у них становятся возможными различные скорости распространения, то есть, различные скорости света.

arseniiv в сообщении #1424436 писал(а):

Вот тут не знаю; я даже не знаю, какая имеется в виду система уравнений.

Которая получается из подстановки в исходные линейные дифференциальные уранения электромагнитного поля плоской волны, в которой все компоненты будут комплексными константами, умноженными на фазовый множитель $e^{i(\vec k \cdot \vec r - \omega t)}$

[arseniiv]

(Просто так)

Вот например $(1+n)$-сила, действующая на единичный заряд, имеющий $(1+n)$-скорость $u^\mu$, равна $F_{\mu\nu} u^\nu$. Для $n = 3$ мы получаем в конце концов наше $\mathbf E + \mathbf v\times\mathbf B$, для $n = 2$ мы имеем $\mathbf E + (\star\mathbf v) B$, где $\star(x, y) = (-y, x)$ в правой декартовой системе координат (и даёт по вектору псевдовектор, который потом умножается на псевдоскаляр $B$). Всё это можно лучше записать как $\mathbf E + \star(\mathbf v\wedge B)$ (и звёздочка Ходжа уже даёт по вектору не вектор, а $(n-1)$-вектор), но тут род $B$ зависит от $n$, это псевдо-$(n-2)$-вектор; если же записать $\mathbf E + \star(\mathbf v\wedge\star^{-1} B)$, $B$ становится бивектором и не бегает. Но тут мы почти получили назад пространственную часть $\frac1{\gamma}(F_{\mu\nu} u^\nu)$; проще наконец уже снять с $B$ и последнюю маску и назвать его 2-формой (как $F$, и немудрено) (а $E$ — 1-формой!). Тогда всё сильно упрощается до $E + B\mathbf v$. И сила тоже пускай 1-форма, хотя при желании можно поднять индекс.

Для $n = 4$ получится в ортонормированном базисе

$$B\mathbf v = (B_{12} v^2 - B_{31} v^3 + B_{14} v^4, -B_{12} v^1 + B_{23} v^3 + B_{24} v^4, B_{31} v^1 - B_{23} v^2 + B_{34} v^4, -B_{14} v^1 - B_{24} v^2 + B_{34} v^3).$$

Максимум что тут можно сделать — объединить компоненты в пары: $12, 34; 24, 31; 14; 23$ (можно выбрать другие компоненты $B$, но полезно менять порядок индексов в каждой паре одновременно).

Это может как-то помочь с магнитным полем, а может не помочь, не знаю. Надо Максвелла попробовать, но боязно.

-- Чт ноя 07, 2019 03:24:42 --

realeugene в сообщении #1424438 писал(а):

Которая получается из подстановки в исходные линейные дифференциальные уранения электромагнитного поля плоской волны, в которой все компоненты будут комплексными константами, умноженными на фазовый множитель $e^{i(\vec k \cdot \vec r - \omega t)}$

Так это поле ещё найти ведь надо?

[arseniiv]

На языке дифформ уравнения Максвелла дают $dF = 0,\; d{\star}F = \tilde j$. Если растащить $F$ на $E$ и $B$ (как выше, 1- и 2-форму на пространстве, а не пространстве-времени), выходит такой набор:

$$dB = 0,\quad dE + B_t = 0,\quad d{\star}E = \tilde\rho,\quad d{\star}B - ({\star}E)_t = \tilde{\mathbf j}$$

(опять если не путаю, должно быть независимо от размерности). Выше $(\tilde j, \tilde\rho, \tilde{\mathbf j}) = ({\star}(j^\flat), {\star}\rho, {\star}(\mathbf j^\flat))$ — формы подходящего ранга для плотности заряда и тока, и дальше я бы тильды не писал, чтобы не отвлекали; и конечно $j = (\rho, \mathbf j)$.

Так вот $B_t, d{\star}E, ({\star}E)_t$ всегда будут равны соответствовать, конечно, привычным $\mathbf B_t, \operatorname{div}\mathbf E, \mathbf E_t$, а вот остальное зависит; ну $dE$ можно понимать в прочих размерностях как некоторое обобщение $\operatorname{rot}\mathbf E$, но «четырёхмерный ротор» подобен четырёхмерному вращению, которое может идти в двух ортогональных плоскостях одновременно (ну и само магнитное поле туда же, тем более вот они в одно уравнение входят); аналогично в каком-то смысле $dB$ всё ещё «дивергенция». А вот $d{\star}B$ я пояснить не рискну, смысла звать это ротором в общем случае вроде как нету. Последнее звезданутое уравнение вообще надо наверно как-то переписать, чтобы понять. Через кодифференциал какой-нибудь…

[realeugene]

arseniiv в сообщении #1424446 писал(а):

Так это поле ещё найти ведь надо?

Так мы же ищем это решение в виде плоской гармонической волны, распространяющейся в пространстве с кучей симметрий. В плоской гармонической волне в вакууме все компоненты поля могут зависеть от времени и координат только таким образом. А потом мы надеемся, что если мы найдём такие решения, то мы получим базис по плоским волнам для нашего пространства-времени. По крайней мере, в (3,1)-мерии это работает.

Думаю, схема решения может быть такая. В (3,1)-мерии 4-тензор электромагнитного поля антисимметричный и содержит 6 независимых компонент: 3 компоненты напряженности электрического поля и 3 компоненты магнитной индукции. В (4,1)-мерии аналогичный тензор будет содержать 4 независимых компоненты напряженности электрического поля и 6 независимых компонент магнитного. Уравнения Максвелла - это линейные дифференциальные уравнения первого порядка над этим тензором двух типов. В вакууме токи равны нулю, так что, все уравнения получатся однородными. Поэтому, в координатном представлении мы имеем кучу уравнений в виде сумм с какими-то константными множителями частных производных первого порядка от компонент этого тензора по различным координатам, в этой куче далеко не все уравнения независимые. Если подставить во все имеющиеся уравнения плоскую волну с заданной частотой, распространяющуюся вдоль первой пространственной координаты, и вычислить все частные производные, получится недоопределённая система линейных алгебраических уравнений, у которой фундаментальное решение будет давать возможные распространяющиеся вдоль этой координаты плоские волны, и, наверное, единственно возможная связь между модулем волнового вектора и частотой. В (3,1)-мерии так должны получиться две возможные поляризации и только они, каково получится фундаментальное решение в (4,1)-мерии - в принципе, несложно порешать. Возможно, геометрическими методами можно найти размерность решения и непосредственно, но я ими не владею.

Сваязь между модулем волнового вектора и частотой - это условие, при котором система уравнений оказывается недоопределённой, и становится возможным найти фундаментальное её решение для свободных плоских волн.

[Утундрий]

(Оффтоп)

Как долго, оказывается, можно отвечать на не заданный вопрос...

[wrest]

upgrade в сообщении #1424358 писал(а):

Мой вопрос проистекает отсюда. А именно - может ли свет распространяться в двумерном пространстве также как он это делает в трехмерном. Берем формулы Максвелла

Зачем Максвелла?
Речь-то о геометрической оптике. Свет распространяется по скорейшему пути, как завещал Ферма, в разных средах разная скорость, вот и всё преломление.
При неизменной, в среде, скорости, кратчайший путь как по расстоянию так и по времени везде (плоских одномерии, двумерии, трехмерии...) -- отрезок прямой линии, как завещали Пифагор и Сергей Сыроежкин.

[upgrade]

wrest в сообщении #1424515 писал(а):

Зачем Максвелла?

Чтобы как-то прояснить вопрос о том, как будет выглядеть дисперсия и преломление света в нетрехмерном пространстве, я так понял для начала надо хотя бы понять как в них свет распространяется.

[arseniiv]

realeugene в сообщении #1424475 писал(а):

Так мы же ищем это решение в виде плоской гармонической волны, распространяющейся в пространстве с кучей симметрий. В плоской гармонической волне в вакууме все компоненты поля могут зависеть от времени и координат только таким образом.

А, ну да. Хотя я всё равно пока не понял, в любом ли случае комплексификация даёт получить ответ.

Утундрий в сообщении #1424476 писал(а):

Как долго, оказывается, можно отвечать на не заданный вопрос...

Так это мы уже о своём, по-моему про магнитно-магнитные волны вопрос довольно интересный. Ну и вообще понять нам бедным трёхмерным существам, что там будет твориться.

upgrade
А зачем вам дисперсия? Вы изначально спросили про то, может ли получаться смещение частот: нет, от преломления не может, и для этого достаточно рассматривать какую-то одну частоту и забыть о дисперсии.

[upgrade]

arseniiv в сообщении #1424535 писал(а):

А зачем вам дисперсия?

Потому что это у нас она проявляет себя как минимумы максимумы, а там может быть к различиям в интенсивности добавляется еще и различия в длине волны (когда волна огибает четырехмерное препятствие)

[wrest]

upgrade в сообщении #1424533 писал(а):

Чтобы как-то прояснить вопрос о том, как будет выглядеть дисперсия и преломление света в нетрехмерном пространстве, я так понял для начала надо хотя бы понять как в них свет распространяется.

Если считать что "дисперсия" это просто зависимость скорости распространения от какого-то параметра (частоты, "цвета"), то помойму ни поперечность волн ни вообще волновая природа света тут привлекаться не должна, а достаточно, ещё раз упомяну, геометрической оптики, где свет распространяется "лучами", имеет разную скорость в разных средах. И плюс распространяется по быстрейшему пути.

Волновые свойства проявляются в явлении интерференции, но тема кажись сначала была не об этом...