Зорич: достаточные условия экстремума

[oleg.k]

Зорич, с.278 писал(а):

Утверждение 4. (достаточные условия экстремума в терминах высших производных). Пусть функция $f: U(x_0) \to \mathbb{R}$, определенная в окрестности $U(x_0)$ точки $x_0$, имеет в $x_0$ производные до порядка $n$ включительно ($n \geqslant 1$). Если $f'(x_0)=...=f^{n-1}(x_0) = 0$ и $f^{n}\ne 0$, то при $n$ нечетном в $x_0$ экстремума нет, а при $n$ четном экстремум есть, причем это строгий локальный минимум, если $f^{n}(x_0) > 0$, и строгий локальный максимум, если $f^{n}(x_0) < 0$.

Рассмотрим $n = 2$. Пусть $f'(x_0) = 0$ и $f''(x_0) = A > 0$. Из того, что функция $f$ определена в некоторой окрестности точки $x_0$ и у нее в этой точке есть первые 2 производные, еще не следует, что $f$ дифференцируема в каждой точке $U(x_0)$. Более того, даже не обязана существовать (пусть и маленькая) окрестность $V(x_0) \subset U(x_0)$, в каждой точке которой функция дифференцируема (т.е. может случиться так, что сколь угодно близко к $x_0$ есть точка $x \in \dot{U}(x_0)$ в которой функция не дифференцируема.) Допустим, так и случилось. Тогда, несмотря на то, что первая производная "меняет знак" (т.е. существует некоторая окрестность $V(x_0) \subset U(x_0)$ такая, что для всех точек $x > x_0, x \in V(x_0)$, в которых функция $f$ дифференцируема, $f'(x_0) > 0$, а для всех точек $x < x_0, x \in V(x_0)$, в которых функция $f$ дифференцируема, $f'(x_0) < 0$) применять теорему о достаточных условия существования экстремума в терминах первой производной нельзя (нету такой окрестности, чтобы в каждой точке ее проколотой левой полуокрестности производная была бы меньше нуля, а в каждой точке проколотой правой полуокрестности была бы больше нуля). Эта теорема существенно использует, что производная сохраняет знак в каждой точке проколотой полуокрестности. Но экстремум все же есть! Я вижу здесь "крутой поворот", который можно было бы рассказывать в книгах наподобие Гелбаума-Олмстеда. Я хочу понять, что такого особенного дает наличие второй производной в данном случае? Придумать функций, которые определены в некоторой окрестности точки $x_0$, имеют нулевую первую производную, но тем не менее не имеют экстремум в точке $x_0$ можно сколько угодно (хрестоматийный пример - кубическая парабола). Но вторая ненулевая производная что-то меняет. Интуитивно хочется думать, что вторая производная позволяет первой производной "поменять знак" при переходе через точку $x_0$ и дать достаточное условие строгого локального экстремума для функции $f$, но это, как я уже выше написал, не так. Хотелось бы понять, какую "качественную" роль играет ненулевая вторая производная в данном случае.

[Otta]

oleg.k в сообщении #1424276 писал(а):

Из того, что функция $f$ определена в некоторой окрестности точки $x_0$ и у нее в этой точке есть первые 2 производные, еще не следует, что $f$ дифференцируема в каждой точке $U(x_0)$.

Следует. В некоторой окрестности - дифференцируема. Иначе Вы не определите вторую производную в точке.
Дальше пока не читаю. Надо?

[oleg.k]

Otta в сообщении #1424277 писал(а):

Следует. В некоторой окрестности - дифференцируема. Иначе Вы не определите вторую производную в точке.

Ничего себе! Контринтуитивненько однако. Я думал можно придумать какую-нибудь функцию, производная которой сколь угодно близко к $x_0$ "с дырками" (например, как если бы функция $f$ была бы дифференцируема только в рациональных точках). Я вполне допускал что такая производная сама может быть дифференцируема в $x_0$. А все так просто оказалось Большое Вам спасибо. Теперь роль второй производной как раз именно та, о которой и хочется думать.

[oleg.k]

Рано я радоваться начал. Доказать этот факт не получается. Подскажите идею.

-- 06.11.2019, 18:42 --

В смысле тот факт, что если у функции $f$, определенной в некоторой окрестности $U(x_0)$ точки $x_0$ существует ненулевая вторая производная в $x_0$, то найдется окрестность $V(x_0)$ точки $x_0$, в каждой точке которой $f$ дифференцируема.

[Otta]

Это не надо доказывать. Это подразумевается в определении.
Чтобы посчитать производную функции в точке, она должна быть внутренней точкой области определения. Чтобы посчитать вторую производную в точке, надо считать предел отношения приращения первой производной к приращению аргумента... смотрите сами, что где должно быть определено.

[oleg.k]

Otta в сообщении #1424387 писал(а):

Чтобы посчитать производную функции в точке, она должна быть внутренней точкой области определения.

"внутренняя" - это двусторонняя предельная? Если так, то да. Чтобы функция могла быть дифференцируемой в точке $x_0$, она (точка $x_0$) должна быть двусторонней предельной для области определения функции $f$.

Otta в сообщении #1424387 писал(а):

Это не надо доказывать. Это подразумевается в определении.

В определении производной требуется только, чтобы точка $x_0$ была двусторонняя предельная для области определения функции $f$ (даже "двусторонность" не обязательна, если речь идет об односторонней производной). Чтобы функция была дифференцируема в некоторой точке, она не обязана быть определенной в каждой точке некоторой окрестности $x_0$. А если у нее есть вторая производная в $x_0$, то, как Вы сказали ранее, $f$ обязана быть определенной и даже дифференцируемой в некоторой окрестности $x_0$. На мой взгляд, это надо доказать.

Otta в сообщении #1424387 писал(а):

Чтобы посчитать вторую производную в точке, надо считать предел отношения приращения первой производной к приращению аргумента... смотрите сами, что где должно быть определено.

И вдруг случится так, что первая производная дифференцируема в $x_0$, но не определена в каждой точке сколь угодно малой окрестности точки $x_0$. Где гарантия, что такого не будет?

-- 06.11.2019, 19:23 --

oleg.k в сообщении #1424390 писал(а):

А если у нее есть вторая производная в $x_0$, то, как Вы сказали ранее, $f$ обязана быть определенной и даже дифференцируемой в некоторой окрестности $x_0$. На мой взгляд, это надо доказать.

Понятно, что в этом куске текста речь идет о функции, которая определена в некоторой окрестности точки $x_0$ и имеет вторую производную в $x_0$. Почему ее первая производная должна быть определенной в каждой точке некоторой окрестности $x_0$ мне доказать не удается.

[oleg.k]

Вообще говоря, даже если у некоторой функции есть ненулевая вторая производная в некоторой точке $x_0$, то из этого не следует существование окрестности $U(x_0)$, в каждой точке которой $f$ будет дифференцируема. Более того, нельзя даже гарантировать существование такой окрестности, в каждой точке которой $f$ будет непрерывна. Т.е. дифференцируемость первой производной ничто не гарантирует. Какое свойство области определения (окрестности) мешает существованию функции, не дифференцируемой в сколь угодно близких к $x_0$ точках, но имеющей в $x_0$ вторую производную?

[Brukvalub]

oleg.k, попробуйте прочесть и осмыслить начало п.6 во втором параграфе 5-й главы первого тома Зорича.

[oleg.k]

Brukvalub в сообщении #1424440 писал(а):

oleg.k, попробуйте прочесть и осмыслить начало п.6 во втором параграфе 5-й главы первого тома Зорича.

Приведу цитату этого фрагмента.

Зорич, с. 243 писал(а):

6. Производные высших порядков.Если функция $f:E \to \mathbb{R}$ дифференцируема в любой точке $x \in E$, то на множестве $E$ возникает новая функция $f':E \to \mathbb{R}$, значение которой в точке $x \in E$ равно производной $f'(x)$ функции $f$ в этой точке. Функция $f':E \to \mathbb{R}$ сама может иметь производную $(f')':E \to \mathbb{R}$ на $E$, которая по отношению к исходной функции $f$ называется второй производной от $f$ и обозначается одним из символов

$$f''(x), \frac{d^2f(x)}{dx^2},$$

а если хотят явно указать переменную дифференцирования, то в первом случае еще, например, пишут $f''_{xx}(x)$.

Ну да, по Зоричу функция и ее производная должны иметь одну и ту же область определения. Только ничего кроме формализма в этом нету. По Зоричу, например, функция $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x) = x$ не является равномерно непрерывной на отрезке $[1, 2]$. К этой функции даже теорему Больцано-Коши о промежуточном значении на отрезке $[-1, 1]$ нельзя (с т.з. определений Зорича) применять, т.к. по Зоричу она не является на нем непрерывной. Но очевидно, что это все просто искусственные ограничения. Я спокойно воспринимаю такой стиль изложения и для себя просто формулирую нормальные определения и теоремы. Не вижу ничего плохого рассматривать производную $f'$ некоторой функции $f$ только в тех точках, в которых $f$ дифференцируема.

Что касается собственно математического содержания. Подскажите пожалуйста идею как доказать этот самый факт, на котором я застрял. Для меня он крайне контринтуитивный. Честно говоря, я сильно сомневаюсь в его истинности. Но и контрпример привести не могу.

[Otta]

oleg.k
Ну не майтесь же... формализмами.

Внутренняя точка - это внутренняя, а не двусторонняя предельная.
См. определение.

Еще раз: попробуйте последовательно определить вторую производную в точке. Вы, думаю, сами увидите, что для этого необходимо.
Факт, над которым Вы бьетесь, не нуждается в док-ве по простой причине: он является частью определения.

[oleg.k]

Otta в сообщении #1424456 писал(а):

Внутренняя точка - это внутренняя, а не двусторонняя предельная.
См. определение.

Википедия писал(а):

Вну́тренняя то́чка мно́жества в топологии есть точка, входящая в данное множество вместе с некоторой своей окрестностью.

Это же слишком сильное ограничение на точку, в которой можно рассматривать функцию на предмет дифференцируемости. Зачем требовать от точки быть внутренней, когда достаточно ей быть двусторонней предельной? (и даже односторонней предельной, если рассматриваются односторонние производные)

Otta в сообщении #1424387 писал(а):

Чтобы посчитать производную функции в точке, она должна быть внутренней точкой области определения.

Ну вот есть допустим функция $f: \mathbb{Q} \to \mathbb{R}, f(x) = x^2$. Почему бы не рассмотреть ее производную в какой-нибудь точке (например, в нуле)?


Более того, лемма Ферма нормально работает для обычных двусторонних предельных точек.

И в Зориче от точки требуется только ее предельность (с. 209).

Вобщем, незачем точке быть внутренней.

Otta в сообщении #1424456 писал(а):

Факт, над которым Вы бьетесь, не нуждается в док-ве по простой причине: он является частью определения.

Только определения у меня и у Вас разные Если серьезно, то я Вас сейчас полностью понял. Но тем не менее, я не готов придерживаться Вашего определения. Имхо слишком это дорогое удовольствие требовать от точки быть внутренней. Потеряем кучу функций, которые нормально можно исследовать.

Otta в сообщении #1424456 писал(а):

Еще раз: попробуйте последовательно определить вторую производную в точке. Вы, думаю, сами увидите, что для этого необходимо.

Ну вот ту функцию - параболу в рациональных точках, которую я привел. У нее есть первая производная - линейная функция определенная на рациональных точках. И вторая производная есть - постоянная функция, определенная тоже на рациональных точках. Необходимости точке быть внутренней нету.

Я думаю Вы поняли над чем я бьюсь.

[Otta]

oleg.k в сообщении #1424463 писал(а):

Ну вот есть допустим функция $f: \mathbb{Q} \to \mathbb{R}, f(x) = x^2$. Почему бы не рассмотреть ее производную в какой-нибудь точке (например, в нуле)?

Это у Вас множество сильно хорошее. Возьмите $E=\{-1/2, -1/3, \ldots, 0, \ldots, 1/3, 1/2\}$
И попробуйте посчитать вторую производную. В нуле.

Зорич вводит такое определение (с пределом по множеству) с единственной целью: заодно определить и односторонние производные.
Но. Та теорема, которую Вы цитируете, как и теорема Ферма о необходимом условии экстремума, с которой все начиналось, касается ровно одного случая: когда функция нужное число раз дифференцируема во внутренней точке (возможного) экстремума.

oleg.k в сообщении #1424463 писал(а):

Я думаю Вы поняли над чем я бьюсь.

Пока нет. Давайте еще раз.

[Brukvalub]

oleg.k в сообщении #1424454 писал(а):

Ну да, по Зоричу функция и ее производная должны иметь одну и ту же область определения. Только ничего кроме формализма в этом нету.

Это не формализм, а, как раз, ровно то определение, которое позволяет избежать недопониманий, подобных вашему. Или вы уже дописываете за Зорича определения из его учебника?

[oleg.k]

Otta в сообщении #1424469 писал(а):

Это у Вас множество сильно хорошее. Возьмите $E=\{-1/2, -1/3, \ldots, 0, \ldots, 1/3, 1/2\}$
И попробуйте посчитать вторую производную. В нуле.

Рассмотрим функцию $f: E \to \mathbb{R}, f(x) = x^2$, где $E=\{-1/2, -1/3, \ldots, 0, \ldots, 1/3, 1/2\}$. Ноль - единственная предельная точка для $E$, поэтому только в ней можно ставить вопрос о дифференцируемости функции $f$. По определению производной находим, что $f'(0) = 0$. Рассмотрим функцию $f'$ - первую производную функции $f$. $f': \{0\} \to \mathbb{R}$, $f'(0) = 0$ График функции $f'$ состоит всего лишь из одной точки $(0, 0)$. Ноль не является точкой, предельной для $Dom f'$, поэтому функция $f'$ не дифференируема в нуле, т.к. нельзя ставить вопрос о дифференируемости функции в точке, которая не является предельной для области определения функции. Таким образом, второй производной функции $f$ в нуле нету, т.к. ее первая производная $f'$ не дифференцируема в нуле.

Otta в сообщении #1424469 писал(а):

Зорич вводит такое определение (с пределом по множеству) с единственной целью: заодно определить и односторонние производные.

Простите, но я не понимаю, что Вы имеете в виду. Функция может иметь одностороннюю производную в обычной односторонней (с нужной стороны) предельной точке для своей области определения. Производную, которая число. Определение производной, которая функция, здесь никакой роли не играет.

Otta в сообщении #1424469 писал(а):

Но. Та теорема, которую Вы цитируете, как и теорема Ферма о необходимом условии экстремума, с которой все начиналось, касается ровно одного случая: когда функция нужное число раз дифференцируема во внутренней точке (возможного) экстремума.

Теорема Ферма отлично работает для обычной двусторонней предельной точки. Я не понимаю, почему Вы настаиваете на том, чтобы точка была внутренней, говоря о теорема Ферма.

Otta в сообщении #1424469 писал(а):

Пока нет. Давайте еще раз.

Пусть есть функция $f: E \to \mathbb{R}$. Пусть $f$ дифференцируема в точках $E' \subset E$. Тогда можно определить функцию $f': E' \to \mathbb{R}$, которую будем называть производной функцией функции $f$. Вторую производную (и вообще, высшие) определяем аналогично. У Зорича производная обязана быть определенной на том же множестве, что и сама функция. У меня не обязана.


1. Меня интересует вот этот фрагмент.

Otta в сообщении #1424277 писал(а):

oleg.k в сообщении #1424276 писал(а):

Из того, что функция $f$ определена в некоторой окрестности точки $x_0$ и у нее в этой точке есть первые 2 производные, еще не следует, что $f$ дифференцируема в каждой точке $U(x_0)$.

Следует. В некоторой окрестности - дифференцируема. Иначе Вы не определите вторую производную в точке.

Я Вашу точку зрения понял. Тезисно, она примерно следующая: если есть вторая производная, то $x_0$ - внутренняя точка для первой производной, следовательно первая производная определена в некоторой окрестности $x_0$, а значит и сама функция $f$ дифференцируема в некоторой окрестности $x_0$. Но я не требую от точки быть внутренней. Если убрать требование для функции $f$ быть определенной в некоторой окрестности точки $x_0$, то точно не следует. Но если это требование оставить, то сложно сказать. Я думаю, что все равно не следует. Но привести пример не могу. С учетом моего определения производной, продолжаете ли Вы утверждать, что следует?

2. Теперь по поводу той теоремы из Зорича, которую я цитировал в начале первого поста. Если результат первого пункта "не следует", то эта теорема будет не верна (с т.з. моего определения производной)? Если так, то хотелось бы, чтобы Вы подсказали, как построить какой-нибудь не очень сложный контрпример.

Brukvalub в сообщении #1424483 писал(а):

Это не формализм, а, как раз, ровно то определение, которое позволяет избежать недопониманий, подобных вашему. Или вы уже дописываете за Зорича определения из его учебника?

Математического содержания в таких ограничениях на мой взгляд нету. Если Вы считаете иначе, было бы интересно узнать Ваши аргументы. Пока я не вижу ни одной причины, считать, что, например, функция $f(x) = x^3$ на отрезке $[1, 2]$ не удовлетворяет теореме Лагранжа. Да, я немного ослабляю ограничения в определениях Зорича.

[wrest]

oleg.k в сообщении #1424512 писал(а):

Если убрать требование для функции $f$ быть определенной в некоторой окрестности точки $x_0$, то

Как тогда вообще сказать - локальный минимум там, локальный максимум или ни то ни другое?