Задача Кеплера

[pogulyat_vyshel]

Планета массы $m$ движется вокруг Солнца по эллипсу. В начальный момент времени известно, что планета находится на расстоянии $r$ от Солнца и скорость ее равна по модулю $v$ и направлена перпендикулярно прямой, соединяющей планету и Солнце.

Найти

$$\frac{1}{\omega}\int_0^\omega T(s)ds,$$

где $T$ -- кинетическая энергия планеты, $\omega$ -- период обращения.

[nnosipov]

pogulyat_vyshel в сообщении #1423952 писал(а):

В начальный момент времени известно, что планета находится на расстоянии $r$ от Солнца и скорость ее равна по модулю $v$ и направлена перпендикулярно прямой, соединяющей планету и Солнце.

Т.е. $r$ --- это или минимальное, или максимальное расстояние от планеты до Солнца. Какое именно?

[pogulyat_vyshel]

doesnt matter

[Pphantom]

nnosipov в сообщении #1423962 писал(а):

Т.е. $r$ --- это или минимальное, или максимальное расстояние от планеты до Солнца.

Да.

nnosipov в сообщении #1423962 писал(а):

Какое именно?

Из имеющихся данных это однозначно определяется (хотя разницы действительно нет).

[nnosipov]

Pphantom в сообщении #1423967 писал(а):

Из имеющихся данных это однозначно определяется

Зная период обращения, мы можем найти большую полуось эллипса $a$. Далее выбор определяется тем, какое из неравенств $r<a$ или $r>a$ имеет место. Вы это имели в виду?

[Утундрий]

Пардон, а ху из мистер $s$?

[Pphantom]

nnosipov в сообщении #1423970 писал(а):

Вы это имели в виду?

Так тоже можно, но есть вариант проще: достаточно сравнить данную в условии скорость с круговой скоростью на соответствующем расстоянии. Если круговая больше - это афелий, если меньше - перигелий.

Собственно, период тут вообще не нужен (и я не уверен, что ТС предполагал его известным, условие допускает просто введенное таким образом обозначение) - по скорости, расстоянию и известным массам большая полуось (а с ней и период) вычисляются однозначно.

[nnosipov]

Утундрий в сообщении #1423976 писал(а):

Пардон, а ху из мистер $s$?

Видимо, натуральный параметр. Ну, не аргумент же дзета-функции Римана :)

[Утундрий]

nnosipov в сообщении #1423979 писал(а):

Видимо, натуральный параметр.

Я могу догадаться, что интегрируется по той переменной, которая стоит в верхнем пределе (т. е. по частоте), но не хочу. Ибо такие вещи вообще-то нужно проговаривать.

[nnosipov]

Утундрий в сообщении #1423980 писал(а):

Ибо такие вещи вообще-то нужно проговаривать.

Соглашусь. Хотя бы для того, чтобы задачу посмотрело больше народу.

[Pphantom]

Утундрий в сообщении #1423980 писал(а):

Я могу догадаться, что интегрируется по той переменной, которая стоит в верхнем пределе (т. е. по частоте), но не хочу.

Вообще-то там написано, что $\omega$ - это период, соответственно, надо думать, что $s$ - время от момента прохождения линии апсид. Хотя обозначения неочевидные, да.

[Утундрий]

(Оффтоп)

Pphantom в сообщении #1423986 писал(а):

Вообще-то там написано, что $\omega$ - это период

О, вот сейчас только заметил. Видно, ТС из этих... (Из любителей бесконечно малого вещественного числа $N$)

[AnatolyBa]

(Оффтоп)

Теорема вириала? Если работает, то как-то не очень сложно.

[nnosipov]

Pphantom в сообщении #1423986 писал(а):

надо думать, что $s$ - время от момента прохождения линии апсид.

А почему тогда не $t$? Впрочем, вопрос риторический.

[nnosipov]

pogulyat_vyshel
Вы в какой форме хотите получить ответ? Должны ли в нем фигурировать только $m$, $r$, $v$, $\omega$ (это можно, но ответ громоздкий) или в нем могут быть какие-то константы, которых не упомянуты в условии задачи (тогда ответ существенно короче)?