Равн. сущ. двухстор. предела и сущ. и рав. двух одностор. пр

[Rusit8800]

Давно хотел задать этот вопрос.
Пусть есть функция $\[y:\left[ {0,1} \right] \to \left[ {0,1} \right]\]$, заданная правилом $y(x)=x$. Известно, что для существования двустороннего предела функции необходимо и достаточно, чтобы оба односторонних предела существовали и равнялись между собой. Можно проверить, что существует двусторонний предел и предел слева этой функции в точке $x=1$. Проблема возникает с пределом справа - база $\[{\mathfrak{B}_ + } = \{ (1,1 + \delta ) \cap [ {0,1} ] \right]\mid \delta > 0\} \]$ определена не корректно, так как ее элементы не могут быть пустыми множествами, поэтому говорить о пределе справа не имеет смысла. Непонятно даже, корректно ли говорить, что предел справа не существует - проблема в том, что определение предела справа через базы "ломается" и поэтому нельзя даже проверить его отрицание.

[Nemiroff]

А в чём именно вопрос/затруднение?
Нет у неё предела справа -- она же не определена в правой окрестности.

[Rusit8800]

Вопрос в том, как это согласуется с теоремой о равносильности существования двустороннего предела и существования и равенства двух односторонних пределов. По этой теореме предел справа в $x=1$ должен существовать и равняться $1$.

[Nemiroff]

Ну а как звучит теорема, откуда вы её взяли?

[Rusit8800]

Теорема взята из Википедии. В Википедии указан источник на учебник Ильина. В учебнике Ильина я нашел только доказательство в одно сторону...

-- 01.11.2019, 18:28 --

Надо видимо сделать оговорку: из существования двустороннего предела следует существование и равенство двух односторонних пределов только если оба односторонних предела определены.

[Nemiroff]

Там ещё сноска есть про очевидность обратного. Но причем тут предел по фильтру?
Я правда не понимаю: ну раз по вашему определению не выходит, значит теорема так не формулируется -- очевидно же по смыслу, что нужно, чтоб точка была внутренней. Ну или хотя бы, чтоб к ней с двух сторон можно было подойти.

[Dan B-Yallay]

Rusit8800 в сообщении #1423447 писал(а):

Вопрос в том, как это согласуется с теоремой о равносильности существования двустороннего предела и существования и равенства двух односторонних пределов. По этой теореме предел справа в $x=1$ должен существовать и равняться $1$.

Почему обсуждаемый случай должен как-то согласоваться с теоремой, которая в силу очевидных причин к нему никак неприменима?

[Rusit8800]

Nemiroff в сообщении #1423463 писал(а):

очевидно же по смыслу, что нужно, чтоб точка была внутренней

Неочевидно. Дело в том, что в нашем случае $\[\mathop U\limits^ \circ _{\left[ {0,1} \right]}^{}\left( 1 \right) = \mathop U\limits^ \circ _{\left[ {0,1} \right]}^ - \left( 1 \right)\]$, то есть проколотая окрестность в точке $1$ на отрезке $[ {0,1} ]$, совпадает с соответвующей проколотой окрестностью, "обрезанной" справа. Тогда, записав определение предела слева, заменив $\[\mathop U\limits^ \circ _{\left[ {0,1} \right]}^ - \left( 1 \right)\]$ на $\[\mathop U\limits^ \circ _{\left[ {0,1} \right]}^{}\left( 1 \right)\]$ в определении, получим логическое определение, совпадающее с определением двустороннего предела.

-- 02.11.2019, 03:05 --

Nemiroff в сообщении #1423463 писал(а):

Но причем тут предел по фильтру?

С помощью него удобно записывать определение односторонних пределов - можно рассмотреть базу вышеупомянутых "обрезанных справа" проколотых окрестностей для определения предела слева. В нашем примере проблема заключается в том, что база "обрезанных справа" окрестностей и просто база проколотых окрестностей совпадают, потому что равны соответствующие элементы баз, поэтому определение предела слева совпадает с определением двустороннего предела.

[vpb]

Rusit8800
1) Не читайте Википедию по математическим вопросам, пока сами не станете достаточно опытны, а это будет не скоро.
2) Читайте Фихтенгольца. В результате этого вы и Зорича, или кого там еще, лучше понимать будете.
3) А самое главное, выбросьте из головы всю абстрактчину. Ведь и так суть вопроса очевидна (да и вопроса никакого нет !). Вы ищете черную кошку в темной комнате ночью, притом, что там ее еще и нет, пытаясь найти смысл в том, что является схоластикой. Одно дело --реальные математические затруднения, а другое --- какие-то чисто языковые конструкции.

[Nemiroff]

Rusit8800 в сообщении #1423541 писал(а):

Неочевидно

Ну ладно. Мне очевидно, что точка должна быть такой, чтоб к ней можно было с любой стороны подобраться. Иначе теорема не имеет смысла.

На мой вкус, определение через базисы фильтров не добавляет ни удобства, ни понимания. Но я не об этом. Поищите теорему у Зорича, а то вы винегрет из источников наворотили.

[Rusit8800]

vpb в сообщении #1423546 писал(а):

Ведь и так суть вопроса очевидна (да и вопроса никакого нет !).

Nemiroff в сообщении #1423598 писал(а):

Мне очевидно, что точка должна быть такой, чтоб к ней можно было с любой стороны подобраться.

Проблема в том, что все очевидное тоже должно строго обговариваться в определениях. Для этого я изучаю эту

vpb в сообщении #1423546 писал(а):

всю абстрактчину

Конечно, на это уйдет больше сил и времени, нежели на изучение матана без нее, но зато мои рассуждения будут более строгими и точными. Думаю, что математики неслучайно создают сложные абстрактные термины - это позволяет точно и строго смотреть на предмет, дает возможность отбросить всякие эвристические рассуждения, сопровождаемые словами "очевидно" и понять предмет лучше. Да, это может еще больше запутать в начале, но это лишь издержки, окупаемые глубоким пониманием если хорошенько поработать. Тяжело в учении, легко в бою.

vpb в сообщении #1423546 писал(а):

Не читайте Википедию по математическим вопросам, пока сами не станете достаточно опытны, а это будет не скоро.

Соглашусь, уже не первый раз Вики меня подводит.

vpb в сообщении #1423546 писал(а):

Одно дело --реальные математические затруднения, а другое --- какие-то чисто языковые конструкции.

Тем не менее я считаю с языковыми конструкциями стоит разобраться. Хотя бы в этом примере. Реальные затруднения от меня все равно никуда не денутся.

vpb в сообщении #1423546 писал(а):

Вы ищете черную кошку в темной комнате ночью, притом, что там ее еще и нет, пытаясь найти смысл в том, что является схоластикой.

Дело в том, что мне реально интересно, в чем проблема. Не могу я ее просто так выбросить из головы. Я с вами не согласен, я написал выше почему.

Nemiroff в сообщении #1423598 писал(а):

Поищите теорему у Зорича

Как раз и изучаю по нему, так как это наиболее строгий учебник по математическому анализу. Там у него я не видел такой теоремы. Кстати я заметил, что Зорич в подобных ситуациях как в этом примере, тоже пишет односторонний предел, хотя, казалось бы, можно было бы и написать двусторонний, так как языковые конструкции определений совпадают.

-- 03.11.2019, 14:47 --

Nemiroff в сообщении #1423598 писал(а):

На мой вкус, определение через базисы фильтров не добавляет ни удобства, ни понимания.

Это позволяет смотреть на данный вид пределов как на частное проявление общего предела по базе. Это удобно, потому что многие свойства предела можно доказать, используя всего 2 свойства элемента баз. Это дает возможность смотреть на картину с общей стороны, не доказывая каждый раз одни и те же утверждения для частных случаев. Так, становится понятно, что односторонний предел по сути не очень сильно не отчитается от двустороннего, просто происходит небольшая "хирургия" элементов баз: проколотые окрестности "обрезаются" с одной стороны.

[vpb]

Rusit8800 в сообщении #1423721 писал(а):

Дело в том, что мне реально интересно, в чем проблема.

Так проблемы-то никакой нет. Понимаете, формальная строгость --- особь статья, а аккуратность рассуждений --- особь статья. Не стоит принимать одно за другое, а то может получиться, что у вас всё время, силы и т.д. уйдут в эту "строгость". Как в одной книге по математике авторы метко выразились:

Цитата:

Вечно фундамент --- и никогда собор.

-- 04.11.2019, 01:57 --

И даже из аккуратности, без особого формализма, тоже культа делать не надо. Бывает, она уместна, а бывает только тормозит.

[Rusit8800]

Nemiroff в сообщении #1423598 писал(а):

Мне очевидно, что точка должна быть такой, чтоб к ней можно было с любой стороны подобраться. Иначе теорема не имеет смысла.

Nemiroff в сообщении #1423463 писал(а):

очевидно же по смыслу, что нужно, чтоб точка была внутренней

Ок, будем тогда считать, что в случае двустороннего предела обе базы $\[{\mathfrak{B}_ + } = \{ (1,1 + \delta ) \cap E \right]\mid \delta > 0\} \]$ и $\[{\mathfrak{B}_ - } = \{ (1 - \delta ,1 ) \cap E \right]\mid \delta > 0\} \]$ обязательно определены. Вроде понятная оговорка, но нигде она в такой форме не делается, и итоге получается по определению, что определена $\[{\mathfrak{B} } = \{ (1 - \delta ,1 + \delta ) \cap E \right]\mid \delta > 0\} \]$, однако она в нашем случае совпадает с $\mathfrak{B}_ -$, а $\mathfrak{B}_ +$ остается неопределенной.

[Nemiroff]

Где не делается оговорок? В Зориче вы не нашли такой теоремы, а в других учебниках нет ни слова про базы. Вы чего ожидаете?

По поводу частного проявления общего предела: не понимаю, чем не угодил общий эпсилон-дельта или общие окрестности.

[Otta]

Rusit8800
Оговорок не делается, потому что невозможно оговорить вообще все.
Был у меня когда-то детский крем британского производства, на котором было написано: не употреблять в пищу.
Я не сомневаюсь, что можно было еще многое приписать, не менее важное для жизни.

Да, так вот.
Например, не делается оговорок, что предел от предъявленной Вами функции не стоит считать на бесконечности. Почему Вас озаботила именно правая окрестность единицы?

-- 04.11.2019, 15:14 --

Rusit8800 в сообщении #1423889 писал(а):

Ок, будем тогда считать, что в случае двустороннего предела обе базы $\[{\mathfrak{B}_ + } = \{ (1,1 + \delta ) \cap E \right]\mid \delta > 0\} \]$ и $\[{\mathfrak{B}_ - } = \{ (1 - \delta ,1 ) \cap E \right]\mid \delta > 0\} \]$ обязательно определены. Вроде понятная оговорка, но нигде она в такой форме не делается, и итоге получается по определению, что определена $\[{\mathfrak{B} } = \{ (1 - \delta ,1 + \delta ) \cap E \right]\mid \delta > 0\} \]$, однако она в нашем случае совпадает с $\mathfrak{B}_ -$, а $\mathfrak{B}_ +$ остается неопределенной.

А вот базы, определены они или нет, - это отдельная песня. К ним функция не имеет никакого отношения. Сами по себе базы определены. (правда, последнюю стоит брать в виде наборов проколотых окрестностей в пересечении с множеством, хотя приведенная - тоже база)
Но, еще раз: это разговор о другом.