Хорошая проблема теории чисел

[Navid]

Позвольте $D$ быть числом, которое делит $ a^4+a^3+2a^2-4a+3$ для некоторого целого числа $a$. Докажите, $D$ это сравнение с четвертой степенью по модулю $13$.

[worm2]

Пока не понятно.
Может быть, формулами записать?

(Понятно, что такая формулировка неверна:)

Let:
$a\in\mathbb{Z}$, $D\in\mathbb{Z}$: $D | a^4+a^3+2a^2-4a+3$
Prove:
$13 | D-a^4$

[Navid]

worm2 в сообщении #1422085 писал(а):

Пока не понятно.
Может быть, формулами записать?

(Понятно, что такая формулировка неверна:)

Let:
$a\in\mathbb{Z}$, $D\in\mathbb{Z}$: $D | a^4+a^3+2a^2-4a+3$
Prove:
$13 | D-a^4$

Правильная формулировка:
Let:
$a\in\mathbb{Z}$, $D\in\mathbb{Z}$: $D | a^4+a^3+2a^2-4a+3$
Prove:
$13 | D-b^4$.
Для некоторого целого числа $b$.

[worm2]

Иными словами, нужно доказать, что для любого целого $a$ разложение числа $a^4+a^3+2a^2-4a+3$ содержит только простые множители вида $26k+1$, $26k+3$, $26k+9$ и $13$.
Вычисления это подтверждают. Но задача выглядит устрашающе, гораздо сложнее, чем теорема Ферма—Эйлера, например.

[gris]

Допустим, $a=-1; a^4+a^3+2a^4-4a+3=9;-1|9;D=-1$
И при каком целом $b$ выражение $-1-b^4$ кратно $13$?

[worm2]

Да, видимо, нужно ещё ограничение, что $D\in\mathbb{N}$.

[nnosipov]

worm2 в сообщении #1422105 писал(а):

Но задача выглядит устрашающе, гораздо сложнее, чем теорема Ферма—Эйлера, например.

Я бы попробовал зацепиться здесь за тот факт, что многочлен $a^4+a^3+2a^2-4a+3$ разлагается на линейные множители над полем деления круга на $13$ частей. Вообще, подобные фокусы (описать все простые делители данного многочлена) мы уже видели на примере некоторых специальных кубических многочленов. Это, конечно, посложнее, чем теорема Ферма-Эйлера, но не слишком (по-моему).

[Navid]

Я думаю, что мы должны связать это с циклотомическими Многочлены.

[wrest]

Если это вдруг полезно, то $a^4+a^3+2a^2-4a+3=(a+10)^4 \mod 13$

[nnosipov]

wrest в сообщении #1422169 писал(а):

Если это вдруг полезно, то $a^4+a^3+2a^2-4a+3=(a+10)^4 \mod 13$

Это один из двух случаев, когда разложение многочлена $f(a)=a^4+a^3+2a^2-4a+3$ над $\mathbb{F}_p$ будет иметь кратные сомножители. Другой случай --- это $p=3$. Для всех остальных простых $p$ разложение будет содержать только однократные неприводимые сомножители над $\mathbb{F}_p$. И это разложение может быть 3-х типов: а) 4 линейных сомножителя; б) 2 квадратичных сомножителя; в) сам многочлен $f(a)$, когда он неприводим. Осталось понять, какой из этих типов разложения имеет место для данного простого $p \not\in \{3,13\}$. Это возможно благодаря интересной связи многочлена $f(a)$ с круговым многочленом $\Phi_{13}(x)=x^{12}+x^{11}+\ldots+x+1$.

В общем, это не теория чисел, это скорее конечные поля и многочлены над ними.

[nnosipov]

Вот пример такого же сорта, но попроще: найдите все простые делители многочлена $a^3+a^2-4a+1$. И чтобы было с чем сравнить: попробуйте решить ту же задачу для многочлена $a^3-a^2-a-1$.

[Navid]

nnosipov в сообщении #1422413 писал(а):

Вот пример такого же сорта, но попроще: найдите все простые делители многочлена $a^3+a^2-4a+1$. И чтобы было с чем сравнить: попробуйте решить ту же задачу для многочлена $a^3-a^2-a-1$.

Вышеупомянутые проблемы могут быть решены с помощью подхода, используемого здесь:
https://www.komal.hu/feladat?a=feladat&f=A588&l=en

Но когда мы столкнулись с выражением четвертой степени, все становится сложнее.

[nnosipov]

Navid в сообщении #1423585 писал(а):

Вышеупомянутые проблемы могут быть решены с помощью подхода, используемого здесь: https://www.komal.hu/feladat?a=feladat&f=A588&l=en

Эти две задачи сильно разные. Попробуйте хотя бы выписать ответ для второй (т.е. для многочлена $a^3-a^2-a-1$).

Navid в сообщении #1423585 писал(а):

Но когда мы столкнулись с выражением четвертой степени, все становится сложнее.

Если речь идет о многочлене $a^4+a^3+2a^2-4a+3$, то нет, не становится.