Натуральный квадратный корень из линейной функции.

[TR63]

Меня интересует вопрос, когда существует натуральное значение квадратного корня из линейной функции от натуральной переменной. Т.е., при каких натуральных $(a;b)$ существует решение в натуральных числах в уравнении$ \sqrt{ax\pm b}=y$.

Подскажите, пожалуйста, где можно посмотреть технологию решения таких уравнений, если она существует.

Меня интересует ряд конкретных уравнений. Вот одно из них:

$$\sqrt{13n+6}=2m+1$$

При $n=k^2$ будем иметь уравнение Пелля, и вопрос ясен. Поэтому будем считать, что $n\neq k^2$.

[dmd]

TR63 в сообщении #1422726 писал(а):

при каких натуральных $(a;b)$ существует решение в натуральных числах в уравнении$ \sqrt{ax\pm b}=y$.

Решение может существовать, когда $\pm b$ есть квадратичный вычет по модулю $a$.

Уравнение $\sqrt{13n+6}=2m+1$ не разрешимо в натуральных $m,n$, потому что символ Лежандра $\left(\dfrac{6}{13}\right)=-1$.

Технология примерно такая:

1) сначала проверяем символ Лежандра, если $a$ простое; или символ Кронекера, если $a$ составное
2) если символ не равен $-1$, то решаем сравнение $y^2\equiv \pm b \pmod a$

[Andrey A]

TR63 в сообщении #1422726 писал(а):

$$\sqrt{13n+6}=2m+1$$

При $n=k^2$ будем иметь уравнение Пелля, и вопрос ясен.

Не такой уж и ясный вопрос. Впрочем, Вы ведь Пелля Вольфрамом решаете, так введите $x^2=6 \mod 13$. То самое и будет.

[TR63]

dmd, Andrey A, большое спасибо.

Andrey A, не знала, что Вольфрам такое решает. Проверила свою серию. Его ответ меня устраивает. Уравнения были такие:

1). $\sqrt{104n-7}=q_1$
2). $\sqrt{104n-15}=q_2$
3). $\sqrt{52n+1}=q_3$

Вольфрам говорит, что решение имеется только в третьем уравнении. А, вообще, я решаю следующее уравнение:

$$[(2m-1)(2m+3)][2m^2+3m+4]=13n+2$$

Здесь у меня возникла гипотеза, что это уравнение решений в натуральных числах не имеет. Но ещё подумаю.

[Andrey A]

TR63 в сообщении #1422751 писал(а):

Вольфрам говорит, что решение имеется только в третьем уравнении.

Это потому что единица — квадратичный вычет по любому модулю, как и любой целый квадрат. $q$ в правой части уравнений имеются в виду без степеней? А то биквадратичные вычеты получаются.

TR63 в сообщении #1422751 писал(а):

А, вообще, я решаю следующее уравнение:

$$[(2m-1)(2m+3)][2m^2+3m+4]=13n+2$$

Это в чистом виде сравнение. Введите в Вольфрам $(2m-1)(2m+3)(2m^2+3m+4)=2 \mod 13.$

[TR63]

Andrey A в сообщении #1422753 писал(а):

$q$ в правой части уравнений имеются в виду без степеней?

Да. Была опечатка. Исправила. Спасибо.

Andrey A в сообщении #1422753 писал(а):

Это в чистом виде сравнение. Введите в Вольфрам $(2m-1)(2m+3)(2m^2+3m+4)=2 \mod 13.$

Да, Вольфрам говорит, что решений нет. Очень хорошо. (Эта задача является частным случаем задачи из "Олимпиадного раздела". Остаётся рассмотреть таким способом остальные случаи, если повезёт. Но это слишком долго, возможно. Пока, мне достаточно и частного случая. Плюс подумаю над возникшей гипотезой.)

[Andrey A]

TR63 в сообщении #1422759 писал(а):

Вольфрам говорит...

Не окажись под рукой Вольфрама, достаточно было бы проверить значения $m$ от $0$ до $12.$ Если не ошибаюсь это $0,1,4,6.$ Теория сравнений говорит, что других остатков деления на $13$ быть не может.

[TR63]

Andrey A, спасибо за полезную для меня дополнительную информацию.
Приведу исходное уравнение, которое надо было решить (в источнике):

$$a^4+a^3+2a^2-4a+3=26k+R$$

Надо выяснить, какие могут быть остатки.
С помощью формулы Орландо (о противоположных корнях) переписываю уравнение в виде

$$(a-2)(a+2)(a^2+a+6)+27=26k+R$$

Рассматриваю частный случай, когда $(a)$-чётное, $R=5$. В итоге получится, что решений в данном частном случае нет.
Меня в этой задаче заинтересовали попутно возникшие гипотезы. Есть над чем подумать. Спасибо ТСу из источника.

[Andrey A]

TR63 в сообщении #1422841 писал(а):

$$a^4+a^3+2a^2-4a+3=26k+R$$

Надо выяснить, какие могут быть остатки.

Так подставьте $a=0,1,2,...,25$ и запишите остатки деления на $26$. Это же нетрудно. Дальше они повторяются, поэтому рассматривать $a>25$ нет необходимости.

[TR63]

Andrey A, я это поняла ещё с первой подсказки.
Формулировку задачи привела для ТС(а), чтобы он, если заглянет, смог узнать её.
Перебор интересно делать, когда есть теоретическая цель. Какая цель в этом переборе, я не вижу.
Повторяю, задача мне интересна возникшими на её основе гипотезами общего плана. (Может я ещё их изложу позже; может в другой теме.)

[Andrey A]

TR63 в сообщении #1422880 писал(а):

Какая цель в этом переборе, я не вижу.

Чтобы

TR63 в сообщении #1422841 писал(а):

... выяснить, какие могут быть остатки.

Они такие: $1,3,9,13.$ Вы задаете вопрос и тут же отметаете его как неинтересный, поскольку частный случай. Даже и не угнаться.

[TR63]

Andrey A в сообщении #1422884 писал(а):

Вы задаете вопрос и тут же отметаете его как неинтересный,

Этот вопрос касается задачи из источника. Прошу извинить, что изложение получилось не однозначным.
Andrey A, Вы мне очень помогли. Ещё раз спасибо.