Проверочные тесты для уравнения четвёртой степени.

[TR63]

Для уравнения

$$f_1=y^4+4ay^3-by^2-z^2+c=0$$

где $(a;b;c)\in N^+$; $(a)$-параметр; $z^2>c$, требуется найти проверочные тесты для области существования ненулевых целых корней, если известно, что положительный натуральный корень при любом значении параметра (из области определения) существует.
Сделав замену $y=x-a$, получим уравнение:

$$f_2=x^4-(6a^2+b)x^2+(8a^3+2a)x-(3a^4+ba^2+z^2-c)=0$$

$f_2=x^4-px^2+qx-r=0$
Действительная часть комплексного корня уравнения $f_2=0$ находится из уравнения (известный факт)
$f=t^3-0.5pt^2+0.25(r+0.25p^2)t-(\frac1 {64})q^2=0$
$(\alpha)$-действительная часть комплексного корня.
$4\alpha^2=4t=t_1$
$t_1^3-2pt_1^2+(4r+p^2)t_1-q^2=0$ (решаем относительно $(r)$). Получим, что
$r<q^2$ при $\mid2\alpha\mid\ge1$ (это выполняется, если оба действительных корня уравнения $f_2=0$ целые (положительный и отрицательный) ; здесь тонкое место и соответственно вопрос: корректно ли рассуждение в этом месте? т.е., можем ли считать, что $\mid2\alpha\mid\ge1$ )
Тогда получаем тест:
$f_3=y^4+4ay^3-by^2+c-\{(8a^3+2a)^2-(3a^4+ba^2-c)\}<0$