Интегрирование балансового соотношения и системы оду

[olevkcom]

Необходимо проинтегрировать балансовое соотношение и систему оду вида
$ \begin{array}{l} \dfrac{\partial\mathbf{u}}{\partial t} + \dfrac{\partial\mathbf{F}(\mathbf{u})}{\partial x} = \mathbf{G}(\mathbf{u},a,b), \\[8pt] \dfrac{da}{dx} = g_1(\mathbf{u},a,b),\\[8pt] \dfrac{db}{dx} = g_2(\mathbf{u},a,b). \end{array} $

Граничные условия открытые (сноса) + задано начальное условие.

Вопросы

1. Какие, вообще говоря, есть возможности проинтегрировать указанную выше систему?
2. Допустим, будем применять метод прямых, и получим систему оду и нелинейную алгебраическую систему
   большого порядка (по количеству узлов). Как решать такую дифференциально-алгебраическую систему?
3. Можно ли решить задачу способом из пункта 2 на шахматной сетке (staggered grid)?

[Утундрий]

Во избежание недоразумений распишите аргументы функций.

[olevkcom]

Утундрий в сообщении #1420755 писал(а):

Во избежание недоразумений распишите аргументы функций.

$ \mathbf{u}=\mathbf{u}(x,t),\, a=a(x),\, b=b(x). $

Вы это имели ввиду?

[Утундрий]

Да, благодарю.

[mihiv]

olevkcom в сообщении #1420761 писал(а):

$ \mathbf{u}=\mathbf{u}(x,t),\, a=a(x),\, b=b(x). $

Пусть $\mathbf{u}$ двумерный вектор:$\mathbf{u}=(u_1,u_2)$, тогда, разрешая второе и третье уравнения системы относительно $u_1, u_2$ получим: $u_1=G_1(\dfrac {da}{dx}, \dfrac {db}{dx}, a, b), u_2=G_2(\dfrac {da}{db}, \dfrac {db}{dx}, a, b)$. Т.е. в двумерном случае $\mathbf{u}$ не зависит от $t$.

[olevkcom]

mihiv в сообщении #1421080 писал(а):

olevkcom в сообщении #1420761 писал(а):

$ \mathbf{u}=\mathbf{u}(x,t),\, a=a(x),\, b=b(x). $

Пусть $\mathbf{u}$ двумерный вектор:$\mathbf{u}=(u_1,u_2)$, тогда, разрешая второе и третье уравнения системы относительно $u_1, u_2$ получим: $u_1=G_1(\dfrac {da}{dx}, \dfrac {db}{dx}, a, b), u_2=G_2(\dfrac {da}{db}, \dfrac {db}{dx}, a, b)$. Т.е. в двумерном случае $\mathbf{u}$ не зависит от $t$.

А почему удастся разрешить? Зависимость в общем случае нелинейная. Вектор $\mathbf{u}$ зависит от времени в векторном уравнении, а в оду присутствует в правой части. Т.е. допускаем, что в каждый момент времени правая часть оду разная, так себе представляю.

[Утундрий]

Если удастся разрешить, то всё будет печально (в силу сказанного выше). А если не удастся разрешить, то всё будет тоскливо. Так как нелинейные связи очень плохо учитываются численно. Здесь нужна предварительная аналитическая доработка напильником.

[mihiv]

olevkcom в сообщении #1421350 писал(а):

А почему удастся разрешить? Зависимость в общем случае нелинейная.

По теореме о неявных функциях последние два уравнения системы определяют $u_1,u_2$ как неявные функции остальных переменных и при нелинейной зависимости.