Найти касательный и нормальный вектор к параболе.

[dimonbavly]

Дана парабола $ y = x^2 $. Возможно ли использовать саму параболу(касательную к ней) как ось $X$ , и нормаль к ней как ось $Y$? Такой базис. И как это реализовать?
Матрица преобразования будет такой?:

$$\begin{bmatrix} &tan_x ,tan_y & \\ &norm_x,norm_y & \end{bmatrix}$$

$tan(x,y)$ - касательный вектор, $norm(x,y)$ - нормальный вектор.

[Pphantom]

Возможно ли почесать правой ногой левое ухо? Возможно. Нужны либо акробатические навыки, либо чужая правая нога, можно также свою ногу (или ухо) отрезать и поднести куда надо. Осталось понять, зачем...

Ваш вопрос примерно такой же. Если задать точку на параболе, то касательную в ней и нормаль к касательной, безусловно, можно найти, связать с ними оси некоторой системы координат - тоже. Осталось понять, зачем это нужно, что именно вы собираетесь реализовывать и "матрицу преобразования" от чего к чему вы пытаетесь записать.

Поэтому сформулируйте, пожалуйста, что именно вы хотите получить в конечном итоге. Не промежуточные задачи, которые, как вам кажется, нужно решить, а именно желаемый итоговый результат.

[dimonbavly]

Мне нужно:
a) Векторное уравнение параболы
b) Координаты точки,например (5,5), в системе координат написаной выше.

[Pphantom]

dimonbavly в сообщении #1421086 писал(а):

a) Векторное уравнение параболы

Тогда - для начала - сформулируйте, что это такое.

dimonbavly в сообщении #1421086 писал(а):

b) Координаты точки,например (5,5), в системе координат написаной выше.

Какой именно? С какой конкретно точкой параболы вам хочется связать начало системы координат?

[dimonbavly]

Векторное уравнение - назовем по-другому - параметрическое уравнение данной параболы.

Начала координат исходной системы - $(0,0)$ , она же будет началом координат для получаемой системы.
То есть координата $(5,5)$ исходной системы координат будет равна:
$y\tilde{}=$ длина нормали от параболы до этой точки;
$x\tilde{}=$ длина дуги параболы от (0,0) до точки касания с данной нормалью
Знаки сам расставлю.

[Munin]

dimonbavly в сообщении #1421092 писал(а):

Векторное уравнение - назовем по-другому - параметрическое уравнение данной параболы.

Это не объясняет, что это такое.

Каким условиям должно удовлетворять уравнение, чтобы вы его сочли векторным уравнением параболы?

[dimonbavly]

Более подробно не описать проблему. Закрывайте тему.

-- 16.10.2019, 15:31 --
P.s.
Именно! Нужно произвести переход от декартовой СК к параболической. Так как делается переход?
Верхнюю строку матрицы я нашел. Нижнюю не получается найти.

$$\begin{bmatrix} & 2x,y & \\ & ?,? & \end{bmatrix}$$

[arseniiv]

К этой системе? Ну так по той же ссылке и формулы. А одной параболой она никак не задаётся.

-- Ср окт 16, 2019 16:43:05 --

Просто вам может быть сразу не очевидно, но у параболы и вообще любой кривой бесконечно много параметрических уравнений (и уравнений вида $F(x, y) = 0$ тоже). Параметризация $(t, t^2)$ ничем не лучше даже $(\operatorname{sgn}t \sqrt{|t|}, |t|)$, полученной взятием $y$ за параметр (вместо $x$). Кроме того одна кривая (даже с выделенной точкой и направлением) не задаёт системы координат, даже если она например прямая: есть куча косоугольных (аффинных) систем координат, где одна ось на одном и том же месте, а другая вертится как угодно.

Так что не думайте, что люди издеваются.

-- Ср окт 16, 2019 16:44:14 --

eugensk
Скорее всего не нужны были, потому что стандартная парабола в стандартных параболических координатах не линия постоянной координаты.

[пианист]

dimonbavly в сообщении #1421081 писал(а):

Дана парабола $ y = x^2 $. Возможно ли использовать саму параболу(касательную к ней) как ось $X$ , и нормаль к ней как ось $Y$? Такой базис. И как это реализовать?

dimonbavly в сообщении #1421092 писал(а):

То есть координата $(5,5)$ исходной системы координат будет равна:
$y\tilde{}=$ длина нормали от параболы до этой точки;
$x\tilde{}=$ длина дуги параболы от (0,0) до точки касания с данной нормалью

Вполне.
Ну, типа, написать зависимость $x=\varphi(\widetilde{x},\widetilde{y}), y=\psi(\widetilde{x},\widetilde{y})$ и обратно..
Вроде несложное, хотя и довольно громоздкое упражнение.
Только видится некоторая трудность: у точек "внутри" будет по две пары "параболических" координат..

arseniiv в сообщении #1421106 писал(а):

К этой системе?

По моему, это не они..

[arseniiv]

пианист в сообщении #1421108 писал(а):

По моему, это не они..

Да, это точно не они, но вдруг они были на уме. Описать, зачем нужна именно система координат, ТС пока не описал. Может и сам пока не в курсе.

[eugensk]

arseniiv
Да, я уже понял, тут нужно семейство, где одна линия парабола, а остальные - нет (эквидистанты параболы - не параболы).

[Munin]

arseniiv в сообщении #1421106 писал(а):

К этой системе? Ну так по той же ссылке и формулы. А одной параболой она никак не задаётся.

И матрицей тоже не задаётся.
И то, что описал eugensk, матрицей тоже не задаётся.

[arseniiv]

Матрицей вообще никакая система координат не задаётся.

[Munin]

arseniiv
Ну переход к прямолинейной системе координат (что прямоугольной, что косоугольной) может быть задан матрицей, что, боюсь, ТС и сбило.

[arseniiv]

Переход, да, не сама же система, и это ведь действительно очень специфический случай.