Описание физических процессов УРЧП

[programmist]

У меня вот такой вот вопрос: почему все (ну или почти все ) физические процессы описываются дифференциальными уравнениями в частных производных? ведь производная означает скорость изменения функции, значит получается уравнения связывают скорости изменения различных величин. отсюда скорость изменения величины получается очень важная характеристика и все на нее опирается так чтоли?

пытался понять одномерное волновое уравнение в терминах скоростей.
слева стоит понятно ускорение точки на струне, а справа стоит произведение квадрата скорости и второй производной по координате, то есть здесь нет времени, что тогда обозначает эта производная? понятно, что выражает силы натяжения, но вот как понять это через скорости?

Всем спасибо за внимание

[Someone]

programmist в сообщении #141122 писал(а):

понятно, что выражает силы натяжения, но вот как понять это через скорости?

Не через скорости, а через кривизну струны.

[AlexNew]

Цитата:

почему все (ну или почти все Smile) физические процессы описываются дифференциальными уравнениями в частных производных? ведь производная означает скорость изменения функции, значит получается уравнения связывают скорости изменения различных величин.

в основе лежит уравнение ньютона, оно верно для любого маленького кусочка струны, там нет никаких частных производных.
Вам вопрос на засыпку: что такое струна?
струной называют совокупность этих кусочков, поэтпму и получается что эта новая сущность и зависит от всего сразу и от время и от натяжения.

Цитата:

но вот как понять это через скорости?

струна может быть понятна ровно настолько, насколько понятно уравнение ньютона

[programmist]

Хорошо, это допустим понятно, вторая производная характеризует кривизну струны, и чем она больше тем соответственно кусок струны получит большее ускорение. А вот допустим взять уравнение Шредингера. Оно связывает скорость изменения волновой функции и лапласиан от нее (кстати физический смысл оператора Лапласа тоже не особо понятен ).

[Munin]

Вам бы почитать хороший учебник по уравнениям математической физики. Там и типичные уравнения разобраны до понимания каждого слагаемого, и их типичные решения и способы решения перечислены.

Физический смысл оператора Лапласа бывает разный. Наиболее типичный - из уравнений Лапласа $\Delta\varphi=0$ и Пуассона $\Delta\varphi=-\rho$ - это переход от потенциала к создающему этот потенциал заряду: $\varphi\to\rho$. С другой стороны, этот же оператор может быть в задаче на собственные значения, тогда получается уравнение стационарных колебаний мембраны или объёмного резонатора: $\Delta u+\omega^{2}u=0$ (где $\omega$ - частота данной моды колебаний). Такой же смысл у этого оператора в стационарном уравнении Шрёдингера. В нестационарном он играет роль, аналогичную второй производной по координате в уравнении колебаний струны.

Очень мощным средством анализа таких уравнений является преобразование Фурье. При этом становится очень прозрачно, как в структуру уравнения со всеми его производными закладывается закон дисперсии бегущих волн.

[programmist]

Munin
Спасибо за объяснение! За учебник учту, да у меня сейчас и сам этот предмет отдельно будет в универе

[ae]

Если на пальцах, то любое ДУ (в т.ч. и ДУЧП)- это баланс какой-либо сохраняющейся величины, выписанный для малого объема. Поэтому физический смысл ДУ всегда очень простой: изменение "количества" какой либо величины в малом элементе объема равно разности суммарного "притока" этой величины (поток умноженый на площадь поверхности, умноженный на интервал времени) и ее же суммарного оттока.
Первая производная по времени - это изменение "величины", деленное на интервал времени.
Из двух пространственных производных, первая (внешняя) - это разность между входящим и выходящим потоком (деленная на объем), а вторая (внутренняя) - выражение того факта, что во многих случаях поток величны пропорционален градинту (или дивергенции) самой величины (т.е. скорость перетока чего-либо пропорционально разности этого чего-то в соседних пространственных областях).

[Eugeen1948]

programmist писал(а):

У меня вот такой вот вопрос: почему все (ну или почти все ) физические процессы описываются дифференциальными уравнениями в частных производных? ведь производная означает скорость изменения функции, значит получается уравнения связывают скорости изменения различных величин. отсюда скорость изменения величины получается очень важная характеристика и все на нее опирается так чтоли?

Есть такой раздел науки - математическая физика. Кстати, есть много учебников и серьёзных книг по математической физике. Там выводятся и исследуются т.н. уравнения математической физики. Вывод этих уравнений, как правило, производится в интегральной форме в виде физических законов сохранения (вот почему в названии есть слово "физика"), а с помощью математических преобразований, используя определенные допущения, преобразуют интегральную форму в дифференциальную (см. напр. теорему Остроградского-Гаусса). Вот откуда и появляются любимые многими здесь на форуме div, rot и grad , а к слову физика" добавляется слово "математическая".

[Munin]

ae в сообщении #141519 писал(а):

Если на пальцах, то любое ДУ (в т.ч. и ДУЧП)- это баланс какой-либо сохраняющейся величины, выписанный для малого объема.

Не скажу, что это неверно, но такой взгляд может дезориентировать, потому что сохраняющуюся величину иногда не так-то просто найти, она неочевидна при заданном уравнении. Например, что сохраняется в комплексном уравнении

$$\frac{\partial^2\psi}{\partial x^2}+i\frac{\partial\psi}{\partial t}+U\psi=0?$$

[Gafield]

programmist писал(а):

У меня вот такой вот вопрос: почему все (ну или почти все ) физические процессы описываются дифференциальными уравнениями в частных производных?

Есть еще системы ОДУ А вообще, потому что так уж все устроено, что во всяких взаимодействиях отсутствует дальнодействие и память о предыдущей эволюции. Только "здесь и сейчас". А какие локальные характеристики могут быть у гладкой функции, описывающей какую-то величину? Ее значение и значения производных в точке. Имеется теорема, что среди обобщенных функций локальными операторами являются только дифференциальные (конечного порядка).

[ae]

Munin в сообщении #141545 писал(а):

сохраняющуюся величину иногда не так-то просто найти, она неочевидна при заданном уравнении.

Я ведь и не утверждал, что по любому ДУ можно определить сохраняющуюся величину. Речь идет об уравнениях, описывающих физические процессы. Для таких уравнений всегда можно определить, что там сохраняется - просто внимательно разобрав вывод уравнения, как оно было получено.

[Munin]

ae в сообщении #141988 писал(а):

Я ведь и не утверждал, что по любому ДУ можно определить сохраняющуюся величину. Речь идет об уравнениях, описывающих физические процессы.

Вам назвать, какой физический процесс описывает приведённое мной уравнение? Или сами догадаетесь?

[AlexNew]

сохранение квадрата пси

[Vasya Pupkin]

Рекомедую учебник Кошлякова "Уравнения в частных производных мат. физики" - сочетает строгость и доступность.

[ae]

Munin в сообщении #142061 писал(а):

Вам назвать, какой физический процесс описывает приведённое мной уравнение?

У. Шредингера я узнал, но Вы ведь не экзаменатор, а я не экзаменуемый, так? Можно еще спросить сколько будет 2+2, беспроигрышный вариант.