Простая школьная задача

[sergey zhukov]

Даны целые числа от 1 до 10. Требуется выяснить, можно ли рассортировать их на две группы так, чтобы произведение всех чисел одной группы было равно произведению всех чисел другой. Если нет, то можно ли это сделать, убрав одно из чисел.

Я решил ее так: перемножил все числа и извлек корень. Он не целый, значит эти числа на две такие группы не разделить (у групп целых чисел обязательно целое произведение). Тем же методом выяснил, что если выбросить семерку, то корень целочисленный. Значит, без семерки это сделать можно.

Эта задача школьная, тут вряд ли тебуется все перемножать и искать корень. Есть ли другое решение?

[Icarus]

Разложить на простые?

[Sender]

Если взять всего два числа $4$ и $9$, корень из их произведения целочисленный, однако разбить их соответствующим образом будет затруднительно.

[Aritaborian]

sergey zhukov в сообщении #1420536 писал(а):

Тем же методом выяснил, что если выбросить семерку, то корень целочисленный. Значит, без семерки это сделать можно.

Здесь косяк. Если семья без мамы это семья, это не значит, что семья с мамой — не семья.

(Оффтоп)

sergey zhukov, я посмотрел, вы тут такие умные вещи пишете про всякие искривлённые пространства, а допускаете при этом элементарные логические ошибки.

[Pphantom]

Тема перемещена из форума «Математика (общие вопросы)» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»
Причина переноса: для "общих вопросов" это излишне тривиально.

[sergey zhukov]

Это верно. Если корень целый, то ничего отсюда не следует. Просто в задаче явный намек, что решение без одной цифры быть должно, а целый корень только без семерки. И решение действительно есть.

[Someone]

sergey zhukov, претензии, которые Вам предъявляют, вызваны заключением

sergey zhukov в сообщении #1420536 писал(а):

если выбросить семерку, то корень целочисленный. Значит, без семерки это сделать можно.

Это логическая ошибка, и для завершения решения Вам достаточно предъявить конкретное разбиение.

[sergey zhukov]

Да я понял это. Решение простое $1\times2\times3\times4\times5\times6=8\times9\times10$.

Я думал, может быть кто-нибудь подскажет другое решение.

[Munin]

Можно обменять местами $2\cdot 4\leftrightarrow 8$ и $2\cdot 5\leftrightarrow 10.$ Больше решений нет.

[Pphantom]

Munin в сообщении #1420709 писал(а):

Можно обменять местами $2\cdot 4\leftrightarrow 8$ и $2\cdot 5\leftrightarrow 10.$ Больше решений нет.

Можно еще переставить единицу в правую часть.

[Munin]

А, ну да. Я что-то уже всё воспринимаю "с точностью до обратимых элементов".

[sergey zhukov]

Я думал, что о возможности/невозможности разбиения можно судить, например, по количеству простых чисел в этом множестве, или по отношнению четных чисел к нечетным и простым. Короче, ничего не подсчитывая.

[wrest]

sergey zhukov
Конечно можно. Число однозначно разбивается на простые множители, отсюда сразу следует что семерка лишняя, т.к. её (семёрки) нечетное количество. Так можно судить о НЕвозможности. Если простых множителей четное количество, то надо смотреть в детали.
Пятерок у нас две, значит пятерка и десятка должны быть по разные стороны.
Троек у нас четыре, но сразу две из них в девятке. Значит девятка на одной стороне, а тройка и шестерка обязательно на другой. Осталось распределить восемь двоек, по четыре двойки на каждую сторону. Три двойки уже сидят в восьмерке, значит восьмерка и четверка обязательно по разные стороны. Ну и так далее...
Вот, рассужжая так, что вы можете сказать о возможности разбиения на три кучки?

[sergey zhukov]

Интересно. Можно разложить все указанные числа на простые множители и рассмотреть эту же задачу применительно к ним (соответственно, число решений такой задачи заведомо больше, чем у исходной). Новая задача по свойству простоты сомножителей сводится к тому, чтобы разделить эти числа просто на две одинаковые по составу группы. Сразу ясно, что решения нет, т.к. здесь есть нечетное число одинаковых простых чисел. Хорошее решение.

Чтобы разбить на три группы, нужно, чтобы все простые множители можно было разбить на три одинаковые группы. В данном случае это не выглядит невозможным только в одном случае - если выкинуть 3, 5, 7 и 10. Но проверка показывает, что это невозможно. Поэтому разделить на три группы никак нельзя.

[wrest]

sergey zhukov в сообщении #1420863 писал(а):

В данном случае это не выглядит невозможным только в одном случае - если выкинуть 3, 5, 7 и 10.

Ну, почти. Семерку выкидываем т.к. она одна, а не три - это ясно.
Пятерку выкидываем т.к. их 2=1+1 а не три. Пятерки "сидят" в 5 и 10 - выкидываем их.
Троек у нас 4=1+1+2 ("сидят" в 3,6,9) -- на три кучки не раскладывается, так что выкидываем 3,6,9
Остаются двойки: 6=1+2+3 тоже на три кучки не раскладываются, их тоже выкидываем (2,4,8).
В итоге всё выкинули, решения нет. Дополнительные проверки не нужны.