Отношение длины дуги к длины хорды

[vlmit]

Отметим две точки $A$ и $B$ на окружности радиусом $r$ и возьмем меньшую из дуг длиной $l$. Пусть угол $\alpha$ будет равен $\frac{l}{2\cdot{\pi}\cdot{r}}$. Тогда длина хорды $AB$ будет равна $2\cdot{r}\cdot{\sin{\frac{\alpha}{2}}}$, потому что $AB$ можно представить как катет прямоугольного треугольника с гипотенузой, образованной диаметром окружности. Как теперь выразить длину хорды исключительно через длину дуги и радиус окружности? Помогите, пожалуйста, разобраться.

[Pphantom]

Арксинусом пользоваться нельзя?

[vlmit]

Pphantom
Можно. Но разве это поможет избавиться от тригонометрической функции в ответе?

[Pphantom]

vlmit в сообщении #1420502 писал(а):

Но разве это поможет избавиться от тригонометрической функции в ответе?

Нет, не поможет. Но ведь выражению "исключительно через длину дуги и радиус окружности" это никак не мешает.

А если задача состоит именно в том, чтобы избавиться от тригонометрических функций (в этом случае вы не слишком удачно сформулировали вопрос), то она не решается. Более того, сама зависимость между величиной хорды и стягивающего ее угла (или дуги окружности, это несущественно) для единичного радиуса окружности - это тоже тригонометрическая функция, использовавшаяся до появления ныне привычных синусов, косинусов и т.д.

[iifat]

Pphantom в сообщении #1420500 писал(а):

Арксинусом пользоваться нельзя?

В честных ли целях желаете вы воспользоваться арксинусом? Потому как для решения задачи он не нужен.

vlmit в сообщении #1420502 писал(а):

разве это поможет избавиться от тригонометрической функции в ответе?

Таки что вы хотите выразить? У вас есть выражение угла через длину дуги и радиус, у вас есть выражение длины хорды через угол и радиус. Я не могу вам сказать, как выразить длину хорды через радиус и длину дуги, поскольку это противоречит правилам форума. Или же вы хотите выразить синус без использования синуса? Ну, можете воспользоваться равенством $\sin\alpha=\frac{e^{i\alpha}-e^{-i\alpha}}2$, если я ничего не напутал. И если вам это покажется более подходящим.

[Pphantom]

iifat в сообщении #1420508 писал(а):

Потому как для решения задачи он не нужен.

Исходя из того, что написал ТС, это самый короткий вариант. В общем, "поджигаем дом и сводим задачу к предыдущей".

-- 13.10.2019, 16:32 --

iifat в сообщении #1420508 писал(а):

Ну, можете воспользоваться равенством $\sin\alpha=\frac{e^{i\alpha}-e^{-i\alpha}}2$, если я ничего не напутал.

Мнимую единицу в знаменателе забыли.

[vlmit]

Pphantom в сообщении #1420507 писал(а):

это тоже тригонометрическая функция, использовавшаяся до появления ныне привычных синусов, косинусов и т.д.

Я хочу понять, что такое угол с точки зрения чисел. Нужно ли для этого читать литературу по истории математики или лучше обратиться к каким-то старым работам?

iifat в сообщении #1420508 писал(а):

Или же вы хотите выразить синус без использования синуса?

Именно так.

iifat в сообщении #1420508 писал(а):

Ну, можете воспользоваться равенством $\sin\alpha=\frac{e^{i\alpha}-e^{-i\alpha}}2$, если я ничего не напутал.

Благодарю за совет. Но можно узнать, удастся ли избавиться в итоге от мнимой единицы?

[Pphantom]

vlmit в сообщении #1420516 писал(а):

Я хочу понять, что такое угол с точки зрения чисел.

А смысл? И самой этой фразы, и действия, которое ей описывается.

[Munin]

vlmit в сообщении #1420516 писал(а):

Я хочу понять, что такое угол с точки зрения чисел.

На это есть два ответа.

1. Угол - это ничего с точки зрения чисел. Это геометрическое понятие.
2. Если расширить представление о числах до комплексных чисел, то там появляется что-то, похожее на угол. Но только потому, что комплексные числа связаны с геометрией.

[Aritaborian]

vlmit в сообщении #1420516 писал(а):

Я хочу понять, что такое угол с точки зрения чисел.

В теории чисел такого понятия нет совсем. И я подозреваю, что вы неверно представляете себе предмет теории чисел...

vlmit в сообщении #1420516 писал(а):

Но можно узнать, удастся ли избавиться в итоге от мнимой единицы?

Вполне себе возможно. Но что вам толку, если приведённая формула с мнимой единицей явно ни о чём вам не говорит.

[vlmit]

Pphantom
Не знаю, как много в этом практического смысла, просто стало интересно, как добиться иным способом результатов, которые были получены с помощью введения в рассуждения понятия мнимой единицы. Одним словом, мысли об углах загнали меня в угол.

Munin в сообщении #1420540 писал(а):

Но только потому, что комплексные числа связаны с геометрией.

Так и обычные числа связаны с геометрией. Сложно представить наличие чисел там, где нет пространства.

Aritaborian
Теория чисел изучает числа (как ни странно), в ней число можно принять как множество единиц. Разве не так?

Aritaborian в сообщении #1420542 писал(а):

Но что вам толку, если приведённая формула с мнимой единицей явно ни о чём вам не говорит.

Потому я и создал тему, в надежде, что получу ссылки на литературу по соответствующей теме. Вопрос о наличии толка попробую решить самостоятельно.

[Aritaborian]

vlmit в сообщении #1420548 писал(а):

Теория чисел изучает числа (как ни странно), в ней число можно принять как множество единиц. Разве не так?

Да всё не так
Просто не употребляйте слова «теория чисел», обсуждая эту задачу.

[Pphantom]

vlmit в сообщении #1420548 писал(а):

Не знаю, как много в этом практического смысла, просто стало интересно, как добиться иным способом результатов, которые были получены с помощью введения в рассуждения понятия мнимой единицы.

Вообще-то мнимую единицу вам предложили из соображений "а вот еще и так можно". Не хотите - не надо, тригонометрическими функциями человечество научилось пользоваться существенно раньше, чем появилась формула Эйлера.

[vlmit]

Aritaborian
Не поймите превратно. Если говорить о теории чисел как о древнем разделе математики, как ее понимает дилетант вроде меня, то она изучает взаимоотношения целых чисел, другими словами, рассматривает возможность решения уравнений в целых числах и числовые последовательности. Не знаю, насколько плохо я представляю именно этот предмет, но сомневаюсь, что введение понятия мнимой единицы сильно помогает представить его лучше. Возможно, если бы современный математический аппарат был достаточно эффективен, то соотношение, задающее последовательность простых чисел, было бы уже найдено. А понятие угла заслуживает самого пристального рассмотрения именно с точки зрения теории чисел хотя бы потому, что в любом прямоугольном треугольнике есть целых три угла.
Pphantom
Понимаю и благодарю за совет. Лишь пытался объяснить, что само создание темы было вызвано рассуждениями о мнимой единице.

[Утундрий]

Pphantom в сообщении #1420507 писал(а):

зависимость между величиной хорды и стягивающего ее угла (или дуги окружности, это несущественно) для единичного радиуса окружности - это тоже тригонометрическая функция, использовавшаяся до появления ныне привычных синусов, косинусов и т.д.

Любопытно, как она называлась... Хордлина?