2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Вычислить предел
Сообщение07.10.2019, 13:17 


21/06/19
24
Всем здравствуйте!

Помогите, пожалуйста, разобраться:

В пособие Зорича по математическому анализу попалось вот такое задание:

Найдите $\lim\limits_{x\to\infty} {x\cdot[\frac{1}{e}-(\frac{x}{x+1})^x]}$

Ясно, что $\lim\limits_{x\to\infty} {(\frac{x}{x+1})^x} = \frac{1}{e}$

Так что получается неопределенность вида $\infty\cdot0$

Тогда, представив x как $\frac{1}{\frac{1}{x}}$ и дважды применив правило Лопиталя, я в итоге смог вычислить исходный предел ($-\frac{1}{2e}$).

С другой стороны, в учебнике правило Лопиталя рассматривается лишь в следующем параграфе, поэтому хотелось бы узнать, можно ли посчитать по-другому?

 Профиль  
                  
 
 Re: Вычислить предел
Сообщение07.10.2019, 16:03 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


27/12/17
1411
Антарктика
Например, представить $\frac{x}{x+1}=1-\frac{1}{x+1}$, перейти к экспоненте в степени логарифм и заняться выделением главной части по формулам Тейлора. Зорича под руками нет, поэтому раньше это было или позже, сказать не могу. Но я бы решал задачу именно так, вместо всяких Лопиталей, ибо быстрее.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вычислить предел
Сообщение07.10.2019, 20:18 


21/06/19
24
thething в сообщении #1419557 писал(а):
Например, представить $\frac{x}{x+1}=1-\frac{1}{x+1}$, перейти к экспоненте в степени логарифм и заняться выделением главной части по формулам Тейлора. Зорича под руками нет, поэтому раньше это было или позже, сказать не могу. Но я бы решал задачу именно так, вместо всяких Лопиталей, ибо быстрее.



Спасибо большое за помощь! Действительно, так оказалось гораздо проще :)

 Профиль  
                  
 
 Re: Вычислить предел
Сообщение09.10.2019, 07:58 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
У Зорича эта задача идёт действительно непосредственно после Тейлора и задолго до Лопиталя. И да, Лопиталь тут малоуместен, Тейлор же -- в самый раз.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вычислить предел
Сообщение13.10.2019, 18:17 


21/06/19
24

(Оффтоп)

ewert в сообщении #1419880 писал(а):
задолго до Лопиталя


Не сказал бы, что задолго: буквально в следующем параграфе :-) В остальном согласен.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 5 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group