2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Неупорядоченная пара собственных классов
Сообщение12.10.2019, 19:52 


01/11/18
15
В книге Мендельсона на стр. 180 вводится функциональная буква $\{X, Y\}$ для обозначения неупорядоченной пары любых двух классов $X$ и $Y$. $\{X, Y\} = 0$, если хотя бы один из классов $X$, $Y$ не является множеством. Вводится неупорядоченная пара на основании следующей теоремы, которую у меня не получается доказать:
$\vdash_{NBG} \exists_1Z((M(X) \& M(Y) \& \forall u(u \in Z \equiv u = X \vee u = Y))$ $ \vee (( \neg M(X) \vee \neg M(Y)) \& Z =\emptyset))$.
С доказательством единственности $Z$ проблем у меня не возникнет. Попробую дойти до доказательства этой теоремы сверху вниз. Разобьём формулу на две части и применим определение для связки $\vee$:
$\vdash_{NBG} \neg (\exists Z(M(X) \& M(Y) \& \forall u(u \in Z \equiv u = X \vee u = Y)))$ $ \supset \exists Z (( \neg M(X) \vee \neg M(Y)) \& Z =\emptyset)$.
Очевидно, $\neg (\exists Z(M(X) \& M(Y) \& \forall u(u \in Z \equiv u = X \vee u = Y)))$ $\vdash_{NBG} \exists Z (( \neg M(X) \vee \neg M(Y)) \& Z =\emptyset)$.
Применив определение для $\exists$ ($\exists x \mathcal{A} := \neg(\forall x(\neg \mathcal{A}))$) и логическую аксиому $\forall x_i \mathcal{A}(x_i) \supset \mathcal{A}(x_i) $, а также утверждение $\mathcal{A} \vdash \mathcal{A}$, получаем
$\neg (\exists Z(M(X) \& M(Y) \& \forall u(u \in Z \equiv u = X \vee u = Y)))$ $\vdash_{NBG} \neg (M(X) \& M(Y) \& \forall u(u \in Z \equiv u = X \vee u = Y))$.
Обозначим гипотезу буквой $\mathcal{C}$ и применим закон де Моргана.
$\mathcal{C} \vdash_{NBG} (\neg M(X) \vee \neg M(Y)) \vee \neg (\forall u(u \in Z \equiv u = X \vee u = Y) $.
Поменяем местами члены дизъюнкции и применим определение для $\vee$:
$\mathcal{C} \vdash_{NBG} \neg \neg (\forall u(u \in Z \equiv u = X \vee u = Y) \supset (\neg M(X) \vee \neg M(Y))$ (Возможно, это пригодится).
Осталось доказать $\mathcal{C}\vdash_{NBG} (\neg M(X) \vee \neg M(Y)) \& Z =\emptyset$.
После этого можно будет собрать доказательство изначальной теоремы, но я не знаю, как доказать последнее утверждение.

 Профиль  
                  
 
 Re: Неупорядоченная пара собственных классов
Сообщение12.10.2019, 22:24 
Аватара пользователя


01/12/06
697
рм
Вы подставили вместо $\forall Z$ некоторую переменную $Z$ и хотите доказать, что она просто так равна пустому множеству. Вы использовали несколько формул логики предикатов, но можно бы вспомнить и логику высказываний (ради $X$ и $Y$).

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 2 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group