Идеал тождественно нулевых многочленов в кольце многочленов

[ArshakA]

Пусть $R$ коммутативное кольцо с единицей (можно заказывать ещё какие-нибудь условия, меня пока в первую очередь интересует случай $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ ), а $R[x, y]$ кольцо многочленов над $R$ от двух переменных.

Как называется идеал $\{ f \in R[x, y] ~|~ \forall a, b \in R : f(a, b) = 0 \}$ ? Где можно почитать о нем ?

[пианист]

Нулевой идеал, видимо :о
В любой книжке по коммутативной алгебре. В Атья, Макдональд прямо на первой страничке ;)

[vpb]

Никоим образом это не нулевой идеал. Когда $n=p$ --- простое число, этот идеал порожден двумя многочленами $x^p-x$ и $y^p-y$. Особо специально про него не помню, чтоб где-то писали. Боревич, Шафаревич, Теория чисел посмотрите, там на первых же страницах кое-что есть. Однако когда кольцо --- характеристики $0$ (например, ${\mathbb Z}$), то этот идеал --- действительно нулевой.

[пианист]

vpb в сообщении #1420338 писал(а):

Когда $n=p$ --- простое число, этот идеал порожден двумя многочленами $x^p-x$ и $y^p-y$

Если многочлены рассматривать как функции (что является, видимо, самой распространенной интерпретацией), эти два не отличаются от 0.

[nnosipov]

пианист в сообщении #1420347 писал(а):

что является, видимо, самой распространенной интерпретацией

По-моему, как раз наоборот. Просто там, где обычно многочлен рассматривают как функцию, там подразумевается поле нулевой характеристики, и все это совпадает.

В любом случае, термин "нулевой" для того, что хочет ТС (ему надо над кольцом вычетов) --- не очень-то хороший. Как вариант, можно было бы назвать "идеалом нулевых функций" в кольце многочленов.

[Xaositect]

пианист в сообщении #1420347 писал(а):

Если многочлены рассматривать как функции (что является, видимо, самой распространенной интерпретацией), эти два не отличаются от 0.

Нет, многочлены - это формальные суммы одночленов, а функции, которые они задают - это другое. Это в любом учебнике алгебры написано.

Есть пара старых статей, которые выписывают порождающие идеала для многочленов одной переменной (link, link), но для двух переменных в общем случае он не будет порождаться идеалами от одной переменной. Вот в этой статье Селезневой рассматривается, по сути, этот идеал для многих переменных для $\mathbb Z/k \mathbb Z$: https://doi.org/10.4213/dm1371

[Munin]

пианист в сообщении #1420347 писал(а):

Если многочлены рассматривать как функции (что является, видимо, самой распространенной интерпретацией)

В алгебре как раз нет. Многочлен - это набор его коэффициентов. А функция - это результат подстановки числа в многочлен (evaluation map). Причём подставлять можно не только числа:
- если подставить матрицу (в многочлен от одной переменной), то получится многочлен от матрицы;
- если подставить независимую переменную (формальный символ $x$ или $t,$ с которым ничего нельзя делать), то получится сам многочлен в символьном виде.

Если многочлены рассматриваются над $\mathbb{R}$ или над $\mathbb{C},$ то соответствующие функции совпадают тогда и только тогда, когда многочлены совпадают. Но во многих случаях это не так, и многочлены намного богаче, чем соответствующие функции.

Например, рассмотрим $\mathbb{F}_2=\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ - поле из двух элементов $\{0,1\}.$ Всех функций $\mathbb{F}_2\to\mathbb{F}_2$ четыре штуки: $00,01,10,11.$ Однако многочленов намного больше. Например, есть многочлен $x^2+x+1\ne 1,$ ценный тем, что он неприводим. (А $x^2+1=x^2-1=(x+1)(x-1).$) Но если бы мы его рассматривали как функцию, то он был бы тождественной 1, конечно же. Ну и конечно, там дальше есть многочлены любой степени, сколь угодно сложные, а функций всё равно всё те же четыре штуки.

-- 12.10.2019 12:58:53 --

nnosipov в сообщении #1420349 писал(а):

В любом случае, термин "нулевой" для того, что хочет ТС (ему надо над кольцом вычетов) --- не очень-то хороший.

Термин "нулевой идеал" - это в точности $0R.$ Так что он не просто нехороший, он не совпадает с тем, что нужно.

[nnosipov]

Xaositect в сообщении #1420350 писал(а):

Есть пара старых статей

Эти еще не самые старые, есть еще Kempner, Trans. Amer. Math. Soc, XXII (1921), 240-88. И даже на русском: Диксон Л.Е. Введение в теорию чисел. Изд-во АН Грузинской ССР, 1941 (см. параграф 24).

Munin в сообщении #1420351 писал(а):

Так что он не просто нехороший

Мне хотелось выразиться помягче.

[пианист]

Ладно, убедили.
Мне лично думать о многочленах как о наборах чисел неприятно, но, согласен, в т.з. оппонентов резон есть.

[ArshakA]

Xaositect в сообщении #1420350 писал(а):

Есть пара старых статей, которые выписывают порождающие идеала для многочленов одной переменной (link, link), но для двух переменных в общем случае он не будет порождаться идеалами от одной переменной. Вот в этой статье Селезневой рассматривается, по сути, этот идеал для многих переменных для $\mathbb Z/k \mathbb Z$: https://doi.org/10.4213/dm1371

nnosipov в сообщении #1420353 писал(а):

Эти еще не самые старые, есть еще Kempner, Trans. Amer. Math. Soc, XXII (1921), 240-88. И даже на русском: Диксон Л.Е. Введение в теорию чисел. Изд-во АН Грузинской ССР, 1941 (см. параграф 24).

Спасибо !

Я ещё сам какую-то статью нашел (и там в списке литературы очень много ссылок)

vpb в сообщении #1420338 писал(а):

Когда $n=p$ --- простое число, этот идеал порожден двумя многочленами $x^p-x$ и $y^p-y$.

У меня что-то $(xy)^p - xy$ выразить не получается

[vpb]

ArshakA в сообщении #1420531 писал(а):

У меня что-то $(xy)^p - xy$ выразить не получается

$(xy)^p-xy=x^p(y^p-y)+y(x^p-x)$.

[ArshakA]

А, действительно, спасибо vpb