Тензорное произведение

[Nickspa]

При решении некой задачи пришёл к следующему утверждению
$B,C,G$ - абелевы группы.
$q:B\to C$ - сюръекция.
Порождается отображение между $B\otimes G$ и $C\otimes G$:
$(q\otimes id)(b\otimes g)=q(b)\otimes g$. Оно также сюръективно.
Тогда $\ker (q\otimes id) =\ker q\otimes id$.

Понятно, что правая часть принадлежит левой. Но обратно верно? Как доказать? Ведь в тензорном произведении могут быть элементы $c\otimes g=0,c\ne 0, g\ne 0$. Если утверждение про ядро верно, то здесь таких нет. Влияет сюръекция?
Хотелось бы разобраться подробно.

[Xaositect]

Это неверно. Рассмотрите, например, каноническую проекцию $\mathbb Z \to \mathbb Z/2 \mathbb Z$ и порожденное ей отображение $\mathbb Z \otimes (\mathbb Z/3\mathbb Z) \to (\mathbb Z / 2 \mathbb Z) \otimes (\mathbb Z / 3 \mathbb Z)$.

[Nickspa]

Nickspa в сообщении #1419922 писал(а):

Тогда $\ker (q\otimes id) =\ker q\otimes id$.

Конечно, имел в виду $\ker q\otimes G$

Здесь $(\mathbb Z / 2 \mathbb Z) \otimes (\mathbb Z / 3 \mathbb Z)$ разве не всего один элемент?

[Xaositect]

Да, извините, перепутал к чему контрпример.

Для сюрьекций утверждение верно, но доказательство этого нетривиально, обычно это называтся "функтор тензорного произведения точен справа".

[Nickspa]

Nickspa в сообщении #1419971 писал(а):

Здесь $(\mathbb Z / 2 \mathbb Z) \otimes (\mathbb Z / 3 \mathbb Z)$ разве не всего один элемент?

То есть действительно один элемент?
Тогда возник другой вопрос. Я определил, что здесь всего один элемент "руками", т.е. взял шесть элементов $(\mathbb Z / 2 \mathbb Z) \otimes (\mathbb Z / 3 \mathbb Z)$ и по определению тензорного произведения как фактора $(\mathbb Z / 2 \mathbb Z) \times (\mathbb Z / 3 \mathbb Z)$ по соотношениям линейности пришёл к тому, что эти элементы должны быть равны.
Можно как-то это сделать проще? Вопрос возник из того, что, видимо, не очень хорошо "чувствую" тензорное произведение. Хочу лучше (как можно лучше) понять его.

[Xaositect]

Nickspa в сообщении #1420028 писал(а):

То есть действительно один элемент?

Да

Nickspa в сообщении #1420028 писал(а):

Можно как-то это сделать проще? Вопрос возник из того, что, видимо, не очень хорошо "чувствую" тензорное произведение. Хочу лучше (как можно лучше) понять его.

Ну вот, собственно, решайте задачи, разбирайте теоремы, станет лучше. Докажите, что $(\mathbb Z / n \mathbb Z) \otimes (\mathbb Z / m \mathbb Z) \cong Z / l \mathbb Z$, где $l$ - это НОД $n$ и $m$.

[Munin]

Xaositect
А в каком смысле здесь понимается тензорное произведение, где прочитать?
Я просто знаю только более простое определение тензорного произведения модулей над одним и тем же кольцом. А тут группы.

[Xaositect]

Определение то же самое. Абелевы группы - это модули над $\mathbb{Z}$.

[Munin]

А, в этом смысле! Тогда понятно. (Хотя неожиданно.)

Надеюсь, сейчас в математике общепринято именно такое понимание тензорного произведения? То есть чего-то резко более сложного и общего внезапно за углом мне не встретится?

[Xaositect]

Ну это зависит от того, за какие углы Вы захотите полезть. Так-то есть всякие моноидальные категории. Но обычно все-таки рассматривается тензорное произведение модулей или модулеподобных объектов (пучки модулей, например).

[Munin]

Спасибо!

[пианист]

Nickspa в сообщении #1419971 писал(а):

Nickspa в сообщении #1419922 писал(а):

Тогда $\ker (q\otimes id) =\ker q\otimes id$.

Конечно, имел в виду $\ker q\otimes G$

М.б., все-таки, $\ker q\otimes 0$?

Xaositect в сообщении #1419980 писал(а):

Для сюрьекций утверждение верно, но доказательство этого нетривиально, обычно это называтся "функтор тензорного произведения точен справа".

Видимо, это предложение 2.18 из Атья, Макдональд..

[Nickspa]

пианист в сообщении #1420241 писал(а):

М.б., все-таки, $\ker q\otimes 0$

$(\ker q)\otimes 0=0\otimes 0$ - просто нулевой элемент тензорного произведения.
$(q\otimes id)(\ker q\otimes G)=0\otimes G=0\otimes 0$.
Разве не прав?

-- 14.10.2019, 12:38 --

Nickspa в сообщении #1419922 писал(а):

При решении некой задачи

Атья, Макдональд предложение 2.18 и есть эта "некая задача".

(Оффтоп)

Но эту задачу я нашёл не здесь, а в Хатчере. Там она решается по-другому, и мне стало интересно можно ли решить через то, что для сюръекции $\ker (q\otimes id)=(\ker q)\otimes G$

[пианист]

Nickspa в сообщении #1420660 писал(а):

$(\ker q)\otimes 0=0\otimes 0$ - просто нулевой элемент тензорного произведения.
$(q\otimes id)(\ker q\otimes G)=0\otimes G=0\otimes 0$.
Разве не прав?

Если тема интересует с точностью до результата действия $q\otimes id$ - да, все верно.