2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Оператор ортогонального отражения
Сообщение09.10.2019, 17:18 


06/02/19
35
Добрый день.
Пытаюсь решить следующую задачу.
В геометрическом пространстве $V_3$ задана прямоугольная декартова система координат {O;$e_1$,$e_2$,$e_3$}. Необходимо построить матрицу оператора ортогонального отражения $\mathcal{R}$ в базисе $e_1$,$e_2$,$e_3$ относительно прямой $x=2y=z$
Мои рассуждения такие:
Чтобы построить матрицу оператора нужно определить закон, по которому оператор преобразует векторы пространства. Т.к любой вектор пространства линейно выражается через базисные векторы, то, зная закон, достаточно применить его к базисным векторам и получить искомую матрицу. Каждый вектор пространства может быть разложен в прямую сумму векторов подпространства и его ортогонального дополнения. Таким образом $f=g+h$, где $g\in \mathsf{L}, а h\in \mathsf{L^ \perp}$. Так как ортонональная проекции вектора и его ортогонального отражения совпадают, то отраженный вектор можно искать по формуле $\tilde{f} = g-h$. После того, как я вычислил для произвольного вектора $f$ с координатами $(x,y,z)$ его отражение $\tilde{f}$ с координатами $(\tilde{x},\tilde{y},\tilde{z})$, я применил этот закон к базисным векторам $e_1=(1,0,0)$, $e_2=(0,1,0)$, $e_3=(0,0,1)$. Однако мой ответ не совпадает с ответом в задачнике. Подскажите, пожалуйста, где я ошибаюсь.

 Профиль  
                  
 
 Re: Оператор ортогонального отражения
Сообщение09.10.2019, 17:48 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


06/10/08
6199
В том, что Вы написали, Вы не ошибаетесь. Так что, наверное, ошибка в расчетах, которые Вы не привели (или опечатка в ответе в учебнике).

 Профиль  
                  
 
 Re: Оператор ортогонального отражения
Сообщение09.10.2019, 17:56 


06/02/19
35
Xaositect в сообщении #1419955 писал(а):
В том, что Вы написали, Вы не ошибаетесь. Так что, наверное, ошибка в расчетах, которые Вы не привели (или опечатка в ответе в учебнике).

Понятно, спасибо. Еще раз все перепроверю. Возник еще один похожий вопрос, не хочу создавать отдельную тему. Что такое отражение относительно одного подпространства параллельно другому? Никак не могу понять, как именно должен выглядеть отраженный вектор?

 Профиль  
                  
 
 Re: Оператор ортогонального отражения
Сообщение09.10.2019, 18:01 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


06/10/08
6199
Похожая вещь: если пространство раскладывается в прямую сумму $U \oplus V$, то любой вектор $x$ может быть представлен единственным образом в виде $x = u + v$, где $u \in U$, $v \in V$. Отражением вектора $x$ относительно $U$ параллельно $V$ тогда будет $u - v$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Оператор ортогонального отражения
Сообщение09.10.2019, 18:17 


06/02/19
35
Xaositect в сообщении #1419959 писал(а):
Похожая вещь: если пространство раскладывается в прямую сумму $U \oplus V$, то любой вектор $x$ может быть представлен единственным образом в виде $x = u + v$, где $u \in U$, $v \in V$. Отражением вектора $x$ относительно $U$ параллельно $V$ тогда будет $u - v$.

Я не понял, в чем отличие с моей формулировкой...

 Профиль  
                  
 
 Re: Оператор ортогонального отражения
Сообщение09.10.2019, 18:19 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


06/10/08
6199
У вас два пространства обязательно ортогональны, здесь более общий случай.

 Профиль  
                  
 
 Re: Оператор ортогонального отражения
Сообщение09.10.2019, 18:20 


06/02/19
35
pandemodeus в сообщении #1419962 писал(а):
Я не понял, в чем отличие с моей формулировкой...

А, кажется, дошло. Вектора разложения принадлежат именно указанным подпространствам, а не подпространству и ортогональному дополнению..

-- 09.10.2019, 18:21 --

Xaositect в сообщении #1419963 писал(а):
У вас два пространства обязательно ортогональны, здесь более общий случай.

Большое Вам спасибо!

Попробовал построить отражение. Все же не дошло. А именно, я не понимаю, где используется параллельность. Например, нужно построить отражение вектора в пространстве относительно плоскости $x=0$ параллельно прямой $2x=y=-z$. Я взял произвольный вектор, разложил на сумму векторов плоскости и прямой, но разница этих векторов у меня никак не получается параллельной прямой. Или я что-то делаю не так?

 Профиль  
                  
 
 Re: Оператор ортогонального отражения
Сообщение09.10.2019, 20:29 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


27/04/09
25670
А разница — это уже отражённый вектор, он и не должен быть параллелен, если не был параллелен исходный.

 Профиль  
                  
 
 Re: Оператор ортогонального отражения
Сообщение09.10.2019, 21:15 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


06/10/08
6199
pandemodeus в сообщении #1419964 писал(а):
Попробовал построить отражение. Все же не дошло. А именно, я не понимаю, где используется параллельность. Например, нужно построить отражение вектора в пространстве относительно плоскости $x=0$ параллельно прямой $2x=y=-z$. Я взял произвольный вектор, разложил на сумму векторов плоскости и прямой, но разница этих векторов у меня никак не получается параллельной прямой. Или я что-то делаю не так?
Возьмем, например, вектор $a = (1; 0; 0)$. Он раскладывается в сумму $(0; 1; 0) = (1; 2; -2) + (0; -2; 2)$; здесь первый вектор лежит на прямой $U: 2x = y = -z$, а второй в плоскости $V: x = 0$.
Отражение вектора $a$ относительно $U$ параллельно $V$ будет $(1; 2; -2) - (0; -2; 2) = (1; 4; -4)$.
"Параллельно" будет в том смысле, что разница исходного вектора и полученного отражения будет лежать в плоскоссти $V$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Оператор ортогонального отражения
Сообщение10.10.2019, 10:59 


06/02/19
35
Xaositect
Теперь ясно, спасибо!

 Профиль  
                  
 
 Re: Оператор ортогонального отражения
Сообщение10.10.2019, 16:05 
Модератор


20/03/14
9822
pandemodeus
 i  Просьба избегать избыточного цитирования: или удаляйте лишнее из цитаты, или пользуйтесь кнопкой "Вставка" для цитирования выделенного фрагмента. Или не цитируйте вообще, это далеко не всегда необходимо.
Исправлено.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 11 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group