Базис гладкой структуры на компакте

[dmivilensky]

Простая (одна из первых) задача из "Геометрии многообразий" Р. Бишопа, Р. Криттендена: показать, что если $M$ (топологическое многообразие) – компакт, то базис $C^{\inf}$-структуры на $M$ должен содержать более одной координатной системы. Авторы определяют базис $C^{\inf}$-структуры как множество координатных систем, которые удовлетворяют условиям: 1) $M$ покрыто областями определения координатных систем из этого множества, 2) каждая пара этих координатных систем $C^{\inf}$-связна ($f(g^{-1}(x)), g(f^{-1}(x)) \in C^{\inf}$). Я, возможно ввиду своей глупости, не могу понять две вещи: а) во что превращается условие 2), если базис состоит из одной координатной системы, б) как решить задачу. Поясню: если мы рассматриваем, например, компакт $A \in \mathbb{R}^d$, то почему множество, состоящий из одного только тождественного отображения, не является базисом его $C^{\inf}$-структуры. Был бы благодарен, если бы кто-нибудь объяснил, что хотел видеть автор, задавая эту задачу.

[пианист]

Если координатная система одна, то, грубо говоря, она и есть это многообразие, условие 2) не нужно.

[dmivilensky]

Остаётся вопрос: если эта координатная система удовлетворяет условию 1), то почему она одна не формирует базис? (Доказать то надо, что базиса из одной координатной системы не существует)

[Xaositect]

Координатная система должна отображать на открытое множество.

[пианист]

dmivilensky в сообщении #1419897 писал(а):

(Доказать то надо, что базиса из одной координатной системы не существует)

;))
Этого, боюсь, никому не удастся: $\mathbb{R}^n$ вполне себе многообразие.
Я понял условие Вашей задачи иначе, что такое многообразие не может быть компактным.

[vpb]

Риторический вопрос: а может ли открытое множество в ${\mathbb R}^n$ быть компактом ? На это аффтар и намекал...

[dmivilensky]

Конечно, то что написано в скобках в одном из моих сообщений относится к условиям задачи, то, что множество компактно, подразумевается в этом треде по умолчанию :) Но я всё таки хотел бы прояснить. По определению покрытие множества – совокупность мнодест, объединение которых содержит, но не обязательно совпадает с данным множеством. Все согласятся, что открытый шар радиуса 2 содержит замкнутый шар радиуса 1. И если мы возьмём координатную систему, индуцированную $\mathbb{R}^d$ на шаре радиуса 2, то область её определения покроет данный нам шар радиуса 1. Так что пример с евклидовы пространством уместен.

-- 09.10.2019, 14:20 --

И всё таки, можно долго обсуждать знания аффтара по теоретико-множественной топологии. Но я бы, конечно, хотел, чтобы кто-нибудь всё-таки посмотрел на задачу здраво и либо указал на ошибку авторов, либо решил её. В самом деле, здесь что, нет хоть одного человека с дипломом математика, который мог бы помочь школьнику с изучением диффгема? :)

[vpb]

dmivilensky в сообщении #1419932 писал(а):

знания аффтара по теоретико-множественной топологии

Под аффтаром имелись в виду авторы книги, а не ТС данной темы.

dmivilensky в сообщении #1419932 писал(а):

В самом деле, здесь что, нет хоть одного человека с дипломом математика, который мог бы помочь школьнику с изучением диффгема? :)

Отчего же нет ?

В.И.Ленин писал(а):

Есть такая партия !

Как решается задача, вам ответили, примерно одно и то же, три человека (кстати, не просто с дипломом, а с дипломом кандидата наук). Но вы не поняли ответ ввиду недостаточности ваших собственных знаний. Я думаю, вам надо сейчас изучать что попроще. Если по матану, то Зорича или Камынина (а еще лучше начинать с Фихтенгольца), по алгебре -- Кострикина или Винберга. По аналитической геометрии -- П.С.Александрова (фолиант 1969 года издания, не путать с другими).

[g______d]

dmivilensky в сообщении #1419891 писал(а):

Поясню: если мы рассматриваем, например, компакт $A \in \mathbb{R}^d$, то почему множество, состоящий из одного только тождественного отображения, не является базисом его $C^{\inf}$-структуры.

См. вторую строчку раздела 1.2. Не является, потому что само отображение не является гомеоморфизмом между $A$ и открытым подмножеством $\mathbb R^d$.

dmivilensky в сообщении #1419932 писал(а):

Все согласятся, что открытый шар радиуса 2 содержит замкнутый шар радиуса 1. И если мы возьмём координатную систему, индуцированную $\mathbb{R}^d$ на шаре радиуса 2, то область её определения покроет данный нам шар радиуса 1.

Из этого не следует, что она будет координатной системой на шаре радиуса 1.

Видимо, вопросов бы не было если бы в шестой строчке было сказано "$d$-мерных координатных систем в $X$", что очевидно подразумевалось, потому что иначе бы любое подмножество $\mathbb R^d$ было $d$-мерным (!) топологическим многообразием, что абсурдно.

[dmivilensky]

Спасибо большое, был невнимателен и не учёл для себя этого очевидного дополнения, которое все ставит на свои места :) Комментатору через сообщение выше: именно прочтение всех приведенных Вами книг (конечно, с выбором одного из пунктов для каждой дисциплины) сформировало во мне привычку к самодостаточным и законченным утверждениям, понимание которых требует исключительно логического мышления. Это, конечно, гораздо меньшее требование, чем умение восстанавливать вырванные из контекста мыслей других людей утверждения к данной задаче, но кажется, что оно является достаточным. К сожалению, мне пришлось отвлекать Вас несколько дольше, чем следовало бы, и именно потому, что я ищу более явных намеков, вроде сообщения выше. Как бы то ни было, вопрос снят.