еще одно диф. уравнение

[zoo]

Рассмотрим систему
$\dot x=f(t,x),\quad x=(x_1,\ldots,x_m)\in \mathbb{R}^m,\quad f\in C^1(\mathbb{R}_+\times \mathbb{R}^m).$ (*)
Функция $f(t,x)=(f_1,\ldots,f_m)(t,x)$ 1-периодична по $t$.

Доказать утверждение.
Предположим, что
1) все решения системы (*) определены при всех $t\ge 0$
2) существует такое $R>0$, что если $\|x_0\|=R$ и $(x-x_0,x_0)=0$ то $(f(t,x),x_0)>0,\quad t\ge 0$.
Тогда система (*) имеет 1-периодическое решение при $t\ge 0$.

$(\cdot,\cdot),\quad \|\cdot\|$ -- стандартное скалярное произведение в $\mathbb{R}^m$ и согласованная с ним норма.

[ddn]

zoo писал(а):

Рассмотрим систему
$\dot x=f(t,x),\quad x=(x_1,\ldots,x_m)\in \mathbb{R}^m,\quad f\in C^1(\mathbb{R}_+\times \mathbb{R}^m).$ (*)
Функция $f(t,x)=(f_1,\ldots,f_m)(t,x)$ 1-периодична по $t$.Если $x(t)$ - решение, то $x(t)=x(0)+\int\limits_{0}^{t}f(t',x(t'))dt'$ принадлежит классу функций $C^2(\mathbb{R}_+\to\mathbb{R}^m)$, в частности непрерывно.

Доказать утверждение.
Предположим, что
1) все решения системы (*) определены при всех $t\ge 0$
2) существует такое $R>0$, что если $\|x_0\|=R$ и $(x-x_0,x_0)=0$ то $(f(t,x),x_0)>0,\quad t\ge 0$.
Тогда система (*) имеет 1-периодическое решение при $t\ge 0$.

$(\cdot,\cdot),\quad \|\cdot\|$ -- стандартное скалярное произведение в $\mathbb{R}^m$ и согласованная с ним норма.

Рассмотрим некоторые $x$ и $x_0$ что $||x_0||=R$ и $(x-x_0,x_0)=0$ и взглянем на задачу с геометрической точки зрения.
Тогда $||x||^2=(x,x)=((x-x_0)+x_0,(x-x_0)+x_0)=$
$=(x-x_0,x-x_0)+(x_0,x_0)=||x-x_0||^2+||x_0||^2$ (теорема Пифагора), откуда следует, что $||x||\geqslant R$.

Вектор $x$ лежит в плоскости, касающейся сферы (радиуса $R$ с центром $0$) в точке $x_0$ и перпендикулярной вектору $x_0$. Так как $(\dot x,x_0)=(f(t,x),x_0)>0$, то конец вектора скорости $\dot x$, проведенного из точки $x$, будет лежать от данной сферы (и от начала координат) по другую сторону данной плоскости. Из $(f(t,x),x_0)>0$ уже видно, что $\dot x$ ненулевой при $||x||\geqslant R$ и $t\geqslant 0$.

Для $||x||=R$ такое $x_0=x$ единственно и совпадает с $x$, откуда $(\dot x,x)>0$.

Для $||x||>R$ такие $x_0=R\left(\cos(\alpha)\frac{x}{||x||}+\sin(\alpha)n^{\perp}\right)$, где $||n^{\perp}||=1$ и $(x,n^{\perp})=0$,
отстоят на угол $0<\alpha=\arccos(\frac{R}{||x||}})<\frac{\pi}{2}$ от вектора $x$ и образуют окружность в плоскости перпендикулярной вектору $x$.
Пусть $\dot x=||\dot x||\left(\cos(\beta)\frac{x}{||x||}+\sin(\beta)\tilde n^{\perp}\right)$, где $\beta\geqslant 0$ - угол между $\dot x$ и $x$.
Так как угол $\gamma$ между $\dot x$ и каждым из векторов $x_0$ должен быть меньше $\frac{\pi}{2}$, ибо $(\dot x,x_0)>0$, то $\sup\limits_{n^{\perp}}\gamma(n^{\perp})=\gamma(-\tilde n^{\perp})=\alpha+\beta<\frac{\pi}{2}$ и угол $\beta<\frac{\pi}{2}-\alpha=\arcsin(\frac{R}{||x||}})=\arccos(\frac{\sqrt{||x||^2-R^2}}{||x||})$.
Откуда следует, что $(x,\dot x)=||x||\cdot||\dot x||cos(\beta)>||\dot x||\sqrt{||x||^2-R^2}>0$, то есть $(x,\dot x)>0$.

Отсюда $\frac{d||x||}{dt}=\frac{(x,\dot x)}{||x||}>0$, то есть $||x(t)||$ всегда увеличивается при $||x||\geqslant R$, и если некоторое решение $x(t)$ при некотором $t_1\geqslant 0$ принимает значение $x_1=x(t_1)$, такое что $||x_1||\geqslant R$, то ни о какой периодичности этого решения говорить нельзя.

Для периодического решения $x(t)$ имеем $||x(t)||<R$ для любого $t\geqslant 0$. Для $||x||<R$ условие (2) не накладывает никаких ограничений на значения $f(t,x)$.

Далее, доказать существование 1-периодичного решения можно, воспользовавшись топологической теоремой, доказательства которой я не знаю.
Непрерывное векторное поле $f(t,x)$ при фиксированном $t$ в каждой точке некоторой сферы $||x||=C>R$ направлено во вне ее: $(f(t,x),x)>0$, значит где-то внутри области $||x||<C$, ограниченной этой сферой оно обнуляется: $f(t,x_*)=0$. Тогда $x(t)=x_*$ является 1-периодичным решением системы $\dot x=f(t,x)$, хотя период $T=1$ не является наименьшим для него.

Первоначально, я доказывал через итерационную последовательность (приводить не буду), но тоже не полностью - остановился на доказательстве равномерной сходимости, а топологическое решение короче и проще.

[zoo]

ddn писал(а):

zoo писал(а):

Рассмотрим систему
$\dot x=f(t,x),\quad x=(x_1,\ldots,x_m)\in \mathbb{R}^m,\quad f\in C^1(\mathbb{R}_+\times \mathbb{R}^m).$ (*)
Функция $f(t,x)=(f_1,\ldots,f_m)(t,x)$ 1-периодична по $t$.Если $x(t)$ - решение, то $x(t)=x(0)+\int\limits_{0}^{t}f(t',x(t'))dt'$ принадлежит классу функций $C^2(\mathbb{R}_+\to\mathbb{R}^m)$, в частности непрерывно.

Доказать утверждение.
Предположим, что
1) все решения системы (*) определены при всех $t\ge 0$
2) существует такое $R>0$, что если $\|x_0\|=R$ и $(x-x_0,x_0)=0$ то $(f(t,x),x_0)>0,\quad t\ge 0$.
Тогда система (*) имеет 1-периодическое решение при $t\ge 0$.

$(\cdot,\cdot),\quad \|\cdot\|$ -- стандартное скалярное произведение в $\mathbb{R}^m$ и согласованная с ним норма.

Рассмотрим некоторые $x$ и $x_0$ что $||x_0||=R$ и $(x-x_0,x_0)=0$ и взглянем на задачу с геометрической точки зрения.
Тогда $||x||^2=(x,x)=((x-x_0)+x_0,(x-x_0)+x_0)=$
$=(x-x_0,x-x_0)+(x_0,x_0)=||x-x_0||^2+||x_0||^2$ (теорема Пифагора), откуда следует, что $||x||\geqslant R$.

Вектор $x$ лежит в плоскости, касающейся сферы (радиуса $R$ с центром $0$) в точке $x_0$ и перпендикулярной вектору $x_0$. Так как $(\dot x,x_0)=(f(t,x),x_0)>0$, то конец вектора скорости $\dot x$, проведенного из точки $x$, будет лежать от данной сферы (и от начала координат) по другую сторону данной плоскости. Из $(f(t,x),x_0)>0$ уже видно, что $\dot x$ ненулевой при $||x||\geqslant R$ и $t\geqslant 0$.

Для $||x||=R$ такое $x_0=x$ единственно и совпадает с $x$, откуда $(\dot x,x)>0$.

Для $||x||>R$ такие $x_0=R\left(\cos(\alpha)\frac{x}{||x||}+\sin(\alpha)n^{\perp}\right)$, где $||n^{\perp}||=1$ и $(x,n^{\perp})=0$,
отстоят на угол $0<\alpha=\arccos(\frac{R}{||x||}})<\frac{\pi}{2}$ от вектора $x$ и образуют окружность в плоскости перпендикулярной вектору $x$.
Пусть $\dot x=||\dot x||\left(\cos(\beta)\frac{x}{||x||}+\sin(\beta)\tilde n^{\perp}\right)$, где $\beta\geqslant 0$ - угол между $\dot x$ и $x$.
Так как угол $\gamma$ между $\dot x$ и каждым из векторов $x_0$ должен быть меньше $\frac{\pi}{2}$, ибо $(\dot x,x_0)>0$, то $\sup\limits_{n^{\perp}}\gamma(n^{\perp})=\gamma(-\tilde n^{\perp})=\alpha+\beta<\frac{\pi}{2}$ и угол $\beta<\frac{\pi}{2}-\alpha=\arcsin(\frac{R}{||x||}})=\arccos(\frac{\sqrt{||x||^2-R^2}}{||x||})$.
Откуда следует, что $(x,\dot x)=||x||\cdot||\dot x||cos(\beta)>||\dot x||\sqrt{||x||^2-R^2}>0$, то есть $(x,\dot x)>0$.

Отсюда $\frac{d||x||}{dt}=\frac{(x,\dot x)}{||x||}>0$, то есть $||x(t)||$ всегда увеличивается при $||x||\geqslant R$, и если некоторое решение $x(t)$ при некотором $t_1\geqslant 0$ принимает значение $x_1=x(t_1)$, такое что $||x_1||\geqslant R$, то ни о какой периодичности этого решения говорить нельзя.

Для периодического решения $x(t)$ имеем $||x(t)||<R$ для любого $t\geqslant 0$. Для $||x||<R$ условие (2) не накладывает никаких ограничений на значения $f(t,x)$.

Вот то что выше написано, я просто непонял к чему это.
Очевидная ошибка сидит здесь:

ddn писал(а):

Далее, доказать существование 1-периодичного решения можно, воспользовавшись топологической теоремой, доказательства которой я не знаю.
Непрерывное векторное поле $f(t,x)$ при фиксированном $t$ в каждой точке некоторой сферы $||x||=C>R$ направлено во вне ее: $(f(t,x),x)>0$, значит где-то внутри области $||x||<C$, ограниченной этой сферой оно обнуляется: $f(t,x_*)=0$. Тогда $x(t)=x_*$ является 1-периодичным решением системы $\dot x=f(t,x)$,

Если эта топологическая теорема имеет место то $x_*$ зависит, вообще говоря от $t$:
$x_*=x_*(t)$ и функция эта решением, вообще говоря, конечно не является, что легко видно из примера
$\dot x= x+\cos t,\quad x_*=-\cos t$

ddn писал(а):

Первоначально, я доказывал через итерационную последовательность (приводить не буду)

не надо приводить, такие теоремы итерационными методами не доказываются

[ddn]

zoo писал(а):

Вот то что выше написано, я просто непонял к чему это.

Это анализ условия (2).
Полученный результат: $(x,\dot x)>||\dot x||\sqrt{||x||^2-R^2}$ при $||x||\geqslant R$ - эквивалентен условию (2).
Если Вы считаете его не нужным, то зачем тогда вообще это условие?

zoo писал(а):

Очевидная ошибка...
Если эта топологическая теорема имеет место то $x_*$ зависит, вообще говоря от $t$...

Да, теперь вижу. Это только частный случай.

zoo писал(а):

ddn писал(а):

Первоначально, я доказывал через итерационную последовательность (приводить не буду)

не надо приводить, такие теоремы итерационными методами не доказываются

При начальной функции, обладающей нужными свойствами и локально (на конечных интервалах) равноменой сходимости - доказывается.
Локально-равноменая сходимость должна доказываться из свойства сужающихся отображений - это используется для доказательства существования решения общего вида. А вот начальную функцию с нужными свойствами нужно еще поискать.
Подумаю над этим.