Вычислить предел

[Unmensch]

Всем здравствуйте!

Помогите, пожалуйста, разобраться:

В пособие Зорича по математическому анализу попалось вот такое задание:

Найдите $\lim\limits_{x\to\infty} {x\cdot[\frac{1}{e}-(\frac{x}{x+1})^x]}$

Ясно, что $\lim\limits_{x\to\infty} {(\frac{x}{x+1})^x} = \frac{1}{e}$

Так что получается неопределенность вида $\infty\cdot0$

Тогда, представив x как $\frac{1}{\frac{1}{x}}$ и дважды применив правило Лопиталя, я в итоге смог вычислить исходный предел ($-\frac{1}{2e}$).

С другой стороны, в учебнике правило Лопиталя рассматривается лишь в следующем параграфе, поэтому хотелось бы узнать, можно ли посчитать по-другому?

[thething]

Например, представить $\frac{x}{x+1}=1-\frac{1}{x+1}$, перейти к экспоненте в степени логарифм и заняться выделением главной части по формулам Тейлора. Зорича под руками нет, поэтому раньше это было или позже, сказать не могу. Но я бы решал задачу именно так, вместо всяких Лопиталей, ибо быстрее.

[Unmensch]

thething в сообщении #1419557 писал(а):

Например, представить $\frac{x}{x+1}=1-\frac{1}{x+1}$, перейти к экспоненте в степени логарифм и заняться выделением главной части по формулам Тейлора. Зорича под руками нет, поэтому раньше это было или позже, сказать не могу. Но я бы решал задачу именно так, вместо всяких Лопиталей, ибо быстрее.

Спасибо большое за помощь! Действительно, так оказалось гораздо проще :)

[ewert]

У Зорича эта задача идёт действительно непосредственно после Тейлора и задолго до Лопиталя. И да, Лопиталь тут малоуместен, Тейлор же -- в самый раз.

[Unmensch]

(Оффтоп)

ewert в сообщении #1419880 писал(а):

задолго до Лопиталя

Не сказал бы, что задолго: буквально в следующем параграфе В остальном согласен.