Гомологии

[Nickspa]

Проблемы с последовательностью Майера-Виеториса.

Думаю, мне надо хорошо и подробно понять один пример.

Вот такое задание.

Представим бутылку Клейна как результат склейки 2х цилиндров по их основаниям, одно из оснований приклеим с перекруткой.
Написать последовательность Майера-Виеториса и показать, что $H_2(K)=0$. Возможно ли из этой последовательности определить $H_1(K)$?

В этом случае цилиндры гомотопичны окружности, поэтому их группы гомологий и группу пересечения мы знаем. Нулевые гомологии бутылки Клейна тривиальны, так как она линейно связна.
Получаю точную последовательность
$0\to H_2(K)\to H_1(A\cap B)\to H_1(A)\oplus H_1(B)\to H_1(K)\to H_0(A\cap B)\to H_0(A)\oplus H_0(B)\to H_0(K)\to 0$
Или
$0\to H_2(K)\to \mathbb{Z}\oplus \mathbb{Z}\to \mathbb{Z}\oplus \mathbb{Z}\to H_1(K)\to \mathbb{Z}\oplus \mathbb{Z}\to \mathbb{Z}\oplus \mathbb{Z} $\to \mathbb{Z} \to 0$

Из точности в члене $H_2(K)$ получаю, что вторая стрелка - вложение. Но как быть дальше?
Может кто более-менее доходчиво разъяснить или навести хотя бы?

[Nickspa]

Третья стрелка - инъекция, так как индуцированна вложением $C_n(A\cap B)$ в $C_n(A)\oplus C_n(B)$.
Значит, образ второй тривиален.
$0\to H_2(K)\to 0$ и $H_2(K)=0$.
Верно так?
Но что делать с первыми гомологиями? Наверное, здесь нельзя посчитать, но не знаю как обосновать.

-- 03.10.2019, 19:43 --

Возникли ещё следующие вопросы по Хатчеру. стр. 195 пример 2.47

Там бутылку Клейна сооружают из двух лент Мёбиуса и гомоморфизма их граничных окружностей.
$0\to H_2(K)\to H_1(A\cap B)\to H_1(A)\oplus H_1(B)\to H_1(K)\to 0$

Далее, третья стрелка задаётся формулой $1\to (2, -2)$. И так как этот гомоморфизм инъективен, получается тривиальность вторых гомологий.
Вопрос: разве данный гомоморфизм не всегда инъективен как порождённый вложением? Не лишняя ли формула гомоморфизма?

Дальше. $H_1(K)\approx \mathbb{Z} \oplus \mathbb{Z}_2$, так как мы всегда можем выбрать (1,0) и (1,-1) в качестве базиса группы $\mathbb{Z} \oplus \mathbb{Z}$. Вот это совсем не понятно.

Может кто помочь разобраться?

[vpb]

Так ведь $H_2(A)\ne0$. Последовательность неправильно написали.

-- 03.10.2019, 21:30 --

Nickspa в сообщении #1418886 писал(а):

разве данный гомоморфизм не всегда инъективен как порождённый вложением?

Нет, конечно. Рассмотрите, например, вложение окружности в плоскость.

[Nickspa]

vpb в сообщении #1418963 писал(а):

Так ведь $H_2(A)\ne0$.

Гомологии цилиндра? Ведь он гомотопен окружности, значит, гомологии выше первых нулевые, разве нет?

-- 03.10.2019, 23:01 --

vpb в сообщении #1418963 писал(а):

Нет, конечно. Рассмотрите, например, вложение окружности в плоскость.

Понял. Значит

Nickspa в сообщении #1418886 писал(а):

И так как этот гомоморфизм инъективен,

следует непосредственно из формулы, т.к. (0,0) мы можем получить только из 0.
Но про первые гомологии всё равно не понятно. Можете этот момент прояснить?

[vpb]

Nickspa в сообщении #1418976 писал(а):

Ведь он гомотопен окружности, значит, гомологии выше первых нулевые, разве нет?

Это был у меня заскок ... Бывает.

-- 03.10.2019, 23:23 --

Nickspa в сообщении #1418886 писал(а):

так как мы всегда можем выбрать (1,0) и (1,-1) в качестве базиса группы $\mathbb{Z} \oplus \mathbb{Z}$. Вот это совсем не понятно.

Не вполне понятно, что именно непонятно. Прежде всего, понятно ли, что такое базис в абелевой группе ? И почему два элемента $c=(1,0)$ и $d=(1,-1)$ составляют базис в ${\mathbb Z}\oplus{\mathbb Z}$?

-- 03.10.2019, 23:26 --

Далее. Имеем свободную абелеву группу $X$ с базисом $\{c,d\}$. Пусть $Y$ --- подгруппа, порожденная элементом $2d$. Какова факторгруппа $X/Y$ ?

[Nickspa]

vpb в сообщении #1418992 писал(а):

что такое базис в абелевой группе ? И почему два элемента $c=(1,0)$ и $d=(1,-1)$ составляют базис в ${\mathbb Z}\oplus{\mathbb Z}$?

Это знаю. Базис - линейно независимая система порождающих группы. Любой элемент $(a,b)\in \mathbb{Z} \oplus \mathbb{Z}$ можно представить в виде $(a+b)c-bd$, значит это система порождающих. И из $\alpha c + \beta d\Rightarrow \alpha =0,\beta =0$, т.е. линейная независимость. Верно? (на всякий случай себя проверить)

[vpb]

Верно.

[Nickspa]

vpb в сообщении #1418992 писал(а):

Пусть $Y$ --- подгруппа, порожденная элементом $2d$

$2d=(2k;-2k), k\in \mathbb{Z}$, так?

С фактором сложнее. $a, b$ лежат в одном классе, если $a-b=(2k,-2k)$ или $a=b+(2k,-2k)$. Не могу понять как описать эту группу.

[vpb]

Вообще не надо вспоминать, как $c$, $d$ через $a$, $b$ выражаются. Ответьте на этот вопрос,

vpb в сообщении #1418992 писал(а):

Имеем свободную абелеву группу $X$ с базисом $\{c,d\}$. Пусть $Y$ --- подгруппа, порожденная элементом $2d$. Какова факторгруппа $X/Y$ ?

как если бы это была просто изолированная задача из задачника по алгебре.

[Nickspa]

Элементы группы имеют вид $\alpha c +2 \beta d$ или $\alpha c +(2 \beta +1) d$. Первые при факторизации идут в нулевой класс эквивалентности, вторые в другой. Получается абелева группа с базисом $\left\lbrace c, e\right\rbrace, e+e=0.$ Или как лучше её записать?
В нашем случае это $\mathbb{Z}\oplus \mathbb{Z}_2$.
Элемент $2d$ - это как раз образ предыдущей стрелки, т.е. ядро нашего преобразования, поэтому по $2d$ и факторизуем. Правильно разобрался?

[Nickspa]

Вернёмся к бутылке Клейна из цилиндров.
$0\to H_2(K)\to \mathbb{Z}\oplus \mathbb{Z}\to \mathbb{Z}\oplus \mathbb{Z}\to H_1(K)\to \mathbb{Z}\oplus \mathbb{Z}\to \mathbb{Z}\oplus \mathbb{Z} \to \mathbb{Z} \to 0$

Вроде со вторыми что-то получилось.
Третья стрелка: переводит элемент (1,0) в (1,-1), а элемент (0,1) в (1,1).
Гомоморфизм можно задать матрицей

$$\begin{pmatrix} 1&1 \\ -1&1 \\ \end{pmatrix}$$

Она невырождена, следовательно это инъекция. И вторые гомологии нулевые. Это верные рассуждения?

-- 04.10.2019, 12:33 --

А что делать с первыми? Нам нужен образ третьей стрелки, но нулевое ядро не означает в данном случае изоморфизм, так ведь?
Например, умножение целых чисел на 2 имеет нулевое ядро, но образ - не все целые числа.

Смотрим. $(1,-1)$ и $(1,1)$ базис в ${\mathbb Z}\oplus{\mathbb Z}$. Получается, что наш гомоморфизм переводит базис в базис, значит, это изоморфизм. Верно?
Получается, что ядро четвёртой стрелки (это образ третьей) - ${\mathbb Z}\oplus{\mathbb Z}$, и гомоморфизм четвёртой стрелки нулевой?

[vpb]

Nickspa в сообщении #1419037 писал(а):

Первые при факторизации идут в нулевой класс эквивалентности, вторые в другой.

Нет.

Nickspa в сообщении #1419037 писал(а):

Правильно разобрался?

В принципе да.

Nickspa в сообщении #1419059 писал(а):

Это верные рассуждения?

Да.

Nickspa в сообщении #1419059 писал(а):

Смотрим. $(1,-1)$ и $(1,1)$ базис в ${\mathbb Z}\oplus{\mathbb Z}$.

Нет, эти два элемента не порождают всю группу.

Nickspa в сообщении #1419059 писал(а):

дро четвёртой стрелки (это образ третьей) - ${\mathbb Z}\oplus{\mathbb Z}$, и гомоморфизм четвёртой стрелки нулевой?

Нет.

-- 04.10.2019, 22:04 --

Полезно доказать такое утверждение: если абелева группа содержит подгруппу, изоморфную ${\mathbb Z}_2$, а фактор по этой подгруппе изоморфен ${\mathbb Z}$, то вся группа изоморфна ${\mathbb Z}_2\oplus {\mathbb Z}$.

[Nickspa]

vpb в сообщении #1419214 писал(а):

Первые при факторизации идут в нулевой класс эквивалентности, вторые в другой.
Нет.

Я, наверное, плохо выразил что имел в виду. При факторизации получается два множества классов эквивалентности: элементы вида $\alpha c$ - одно множество (я его очень нехорошо назвал нулевым), а $\alpha c + d$ - другое. И, соответственно, это абелева группа с образующими $c$ и $e, e+e=0$. Так верно (более-менее)?

-- 04.10.2019, 23:32 --

Nickspa в сообщении #1418837 писал(а):

Nickspa в сообщении #1419059

писал(а):
Смотрим. $(1,-1)$ и $(1,1)$ базис в ${\mathbb Z}\oplus{\mathbb Z}$. Нет, эти два элемента не порождают всю группу.

$c=(1,-1), d=(1,1)$
$(a,b)=\frac{a+b}{2}c+\frac{a-b}{2}d$. Где заблуждаюсь тогда?

-- 04.10.2019, 23:33 --

Понял, деление на два в группе нет - верно?

[vpb]

Nickspa в сообщении #1419224 писал(а):

Так верно (более-менее)?

Да. Правильнее написать $\overline c$ и $e=\overline d$, где $\overline c$ --- смежный класс элемента $c$, $\overline d$ --- смежный класс элемента $d$. Тогда вся факторгруппа --- прямая сумма циклических груп, порожденных $\overline c$ и $\overline d$. Первая из них изоморфна ${\mathbb Z}$, а вторая ${\mathbb Z}_2$.

[Nickspa]

vpb в сообщении #1419229 писал(а):

$0\to H_2(K)\to \mathbb{Z}\oplus \mathbb{Z}\to \mathbb{Z}\oplus \mathbb{Z}\to H_1(K)\to \mathbb{Z}\oplus \mathbb{Z}\to \mathbb{Z}\oplus \mathbb{Z} \to \mathbb{Z} \to 0$

Итак, образ третьей стрелки - это подгруппа, порождённая элементами $c=(1,1), d=(1,-1)$. Пришёл к тому, что базисом в этой подгруппе можно выбрать $c=(1,1), b=(0,2)$.
$\left\lbrace c\right\rbrace\approx \mathbb{Z}, \left\lbrace b\right\rbrace\approx \mathbb{Z}_2$.
Значит, образ третьей стрелки $\approx \mathbb{Z}\oplus \mathbb{Z}_2$. Верно или нет?

-- 05.10.2019, 01:10 --

Если верно, то образ четвёртой стрелки $\frac{\mathbb{Z}\oplus \mathbb{Z}}{\mathbb{Z}\oplus\mathbb{Z}_2}$.
В $\mathbb{Z}\oplus \mathbb{Z}$ возьмём базис $c=(1,1),d=(0,1)$, в подгруппе $\mathbb{Z}\oplus\mathbb{Z}_2:c,2d$.
При факторизации элементы $\alpha c+2\beta d$ идут в нулевой класс, $\alpha c+2\beta d +d$ - в другой.
Получаем $\mathbb{Z}_2$.
Где заблуждаюсь?