Не фундаментальная фундаментальная последовательность

[Icarus]

Критерий Коши:

$$\forall\varepsilon>0 \; \exists n_0\in\mathbb{N} \; \forall n,m \geqslant n_0 \; |x_n - x_m|\leqslant \varepsilon$$

Как известно $x_n=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3} + \ldots +\frac{1}{n}\; - $ расходящаяся последовательность.


Но для нее справедливо:

$$\lim_{n\to \infty} \left\lvert\frac{1}{n}-\frac{1}{n+k}\right\rvert=0, \; \forall k \in \mathbb{N}$$

А это, вроде как, значит, что последовательность фундаментальна и сходится. И вот смотрю я на критерий Коши и не пойму что не так.

[ET]

А что в ней не так? Понятно, что из

Цитата:

Но для нее справедливо:...

не следует критерий Коши. Вот и все

Зы А, кстати, что вы вообще там написали?
Сначала последовательность частичных сумм, а потом недокритерий на саму последовательность?

[Icarus]

Ну, я рассуждал так: критерий Коши говорит, что если последовательность фундаментальна, то она сходится. Проверю-ка я свою $x_n$ на фундаментальность. Ага,

$$\lim_{n\to \infty} \left\lvert\frac{1}{n}-\frac{1}{n+k}\right\rvert=0, \; \forall k \in \mathbb{N}$$

фундаментальна, то бишь сходится, но я-то знаю, что не сходится. Так что видимо не правильно проверил на фундаментальность, но что не так ? где не так ? почему не так ?

[maxharitonov]

Вы спутали сходимость последовательности $1/n$, которая, очевидно, сходится, в т.ч. и по критерию Коши, со сходимостью частичных сумм ряда.

[ET]

Icarus
Вы ерунду какую-то пишите
Ок, сначала напишите, какую именно последовательность вы проверяете
А потом напишите критерий Коши для именно этйо последовательности. Причем, обратите внимание, там, в критерии Коши есть такая А перевернутая вверх лапками перед мэ. Это означает, что для критерия это должно выполняться для любого мэ, а не только для $n+k$ при заранее заданном $k$

[iifat]

Icarus в сообщении #1418482 писал(а):

расходящаяся последовательность

Вы там где-то у себя путаете последовательность и ряд. Последовательность $\frac1n$ — фундаментальная и сходящаяся (что, впрочем, как вы справедливо заметили, одно и то же). И факт её фундаментальности вы записали почти правильно: вот так надо $\lim\limits_{n,k\to\infty}\left\lvert\frac1n-\frac1{n+k}\right\rvert$. Только интересуетесь вы рядом, и признак Коши для неё выглядит по-другому. Не успел

[Icarus]

ET в сообщении #1418487 писал(а):

Вы ерунду какую-то пишите

А, точно. Там нужно было написать не

$$\lim_{n\to \infty} \left\lvert\frac{1}{n}-\frac{1}{n+k}\right\rvert=0$$

А

$$\lim_{n\to \infty} \left\lvert\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2}-\ldots-\frac{1}{n+k}\right\rvert=0$$

ET в сообщении #1418487 писал(а):

Причем, обратите внимание, там, в критерии Коши есть такая А перевернутая вверх лапками перед мэ. Это означает, что для критерия это должно выполняться для любого мэ, а не только для $n+k$ при заранее заданном $k$

Я похоже вот это не понял. Думал для любого означает, что могу взять $n$ и $m=n+1$, тогда какое бы $\varepsilon$ бы мне не дали, я бы брал $n=[\frac{1}{\varepsilon}]+1$ и в ус не дул. А для любого это означает, что должно выполняться и для $m=n+1$ и для $m=n+100$, и для $m=n+1000$ ?

Ну конечно, тогда бы это не называлось для любого... Ладно, нужно было подольше подумать, всем большое спасибо!!!

[alcoholist]

Icarus в сообщении #1418491 писал(а):

А

$$\lim_{n\to \infty} \left\lvert\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2}-\ldots-\frac{1}{n+k}\right\rvert=0$$

тогда уж

$$\lim_{n,k\to \infty} \left\lvert\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+\ldots+\frac{1}{n+k}\right\rvert=0$$

[mihaild]

Icarus в сообщении #1418491 писал(а):

А для любого это означает, что должно выполняться и для $m=n+1$ и для $m=n+100$, и для $m=n+1000$ ?

Именно. Смотреть только как соотносятся близкие члены последовательности недостаточно. Например последовательность $x_n = \sqrt{n}$. Для любого конечного $k$ имеем $|x_{n + k} - x_n| \sim \frac{1}{\sqrt{n}} \to 0$. Но $\sqrt{n}$ не фундаментальна.

[ET]

Icarus в сообщении #1418491 писал(а):

А для любого это означает, что должно выполняться и для $m=n+1$ и для $m=n+100$, и для $m=n+1000$

И даже для $m=10^n$

[ewert]

alcoholist в сообщении #1418494 писал(а):

Icarus в сообщении #1418491 писал(а):

А

$$\lim_{n\to \infty} \left\lvert\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2}-\ldots-\frac{1}{n+k}\right\rvert=0$$

тогда уж

$$\lim_{n,k\to \infty} \left\lvert\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+\ldots+\frac{1}{n+k}\right\rvert=0$$

Критерию Коши соответствует первое, но не второе.