Минимальное кольцо

[Taras]

Стыдно задавать такой вопрос, но никак не могу сам додуматься:
Пусть $S$ -полукольцо. $K(S)$ - минимальное кольцо, которое содержит $S$ - фактически пересечение всех колец, которые содержат $S$. Тогда $K(S)=K_0(S)=\left\{A |A=\bigsqcup\limits_{i=1}^n A_i, A_i \in S \right\}$.
Просто доказать, что $K_0(S)$- кольцо, и отсюда следует, что $K_0(S) \supset K(S)$.
Но никак не могу сообразить почему наоборот включение-верно.Почему в $K(S)$ должны лежать множества, которые являются обьединением множеств с $S$.

[Brukvalub]

Taras в сообщении #141737 писал(а):

Но никак не могу сообразить почему наоборот включение-верно.Почему в $K(S)$ должны лежать множества, которые являются обьединением множеств с $S$.

Это следует прямо из определения кольца, см. : http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9A%D0%BE%D0%BB%D1%8C%D1%86%D0%BE_%D0%BC%D0%BD%D0%BE%D0%B6%D0%B5%D1%81%D1%82%D0%B2

[Профессор Снэйп]

Taras писал(а):

Пусть $S$ -полукольцо. $K(S)$ - минимальное кольцо, которое содержит $S$ - фактически пересечение всех колец, которые содержат $S$.

Я думаю, что пересечение всех колец, содержащих $S$, будет равно самому $S$. Вероятно, здесь имелось в виду не пересечение, а что-то более сложное. Пересечение обычно берут, когда всё происходит "внутри" какого-то большего объекта, здесь же ситуация иная.

P. S. Хотя если имеются в виду "теоретико-множественные" (а не "алгебраические") кольца, то вопрос с пересечением отпадает. Правда, становится непонятно, зачем при определении $K_0(S)$ берётся дизъюнктное объединение, тогда как, очевидно, нужно брать простое.

[Brukvalub]

Профессор Снэйп в сообщении #141777 писал(а):

Я думаю, что пересечение всех колец, содержащих $S$, будет равно самому $S$.

Это неверно, поскольку

Taras в сообщении #141737 писал(а):

Пусть $S$ -полукольцо.

. Вы бы, Профессор Снэйп, почитали мою ссылочку, тогда вопрос стал бы для Вас яснее. Речь здесь идет о совершенно стандартных теоретико-множественных конструкциях, предваряющих построение меры.

[Профессор Снэйп]

Brukvalub писал(а):

Вы бы, Профессор Снэйп, почитали мою ссылочку, тогда вопрос стал бы для Вас яснее.

При слове "кольцо" мне первым делом в голову приходит вот это. А лишь потом то, что по Вашей ссылке.

[Brukvalub]

А что Вам приходит в голову при слове "полукольцо"?

[Taras]

то, что объединение множеств из кольца лежит в кольце я знал. Просто сглупил, когда думал, что S рассматривается как "атом", а не как "молекула".
Спасибо!

Добавлено спустя 3 минуты 33 секунды:

как я и думал: надо был просто свежий взгляд.

Добавлено спустя 25 минут 23 секунды:

Цитата:

P. S. Хотя если имеются в виду "теоретико-множественные" (а не "алгебраические") кольца, то вопрос с пересечением отпадает. Правда, становится непонятно, зачем при определении $K_0(S)$ берётся дизъюнктное объединение, тогда как, очевидно, нужно брать простое.

Дизъюнктность важна. Она используется для доказательства того, что $K_0(S)$ - кольцо.

[Профессор Снэйп]

Brukvalub писал(а):

А что Вам приходит в голову при слове "полукольцо"?

Да ничего на ум не приходит. Но я ни в коем случае не тешу себя мыслью, что мне известны значения всех математических терминов. Но зачастую примерный смысл терминов можно додумать по их звучанию. К примеру, если знаешь, что такое подгруппа и подпространство, то значения слов "подкольцо", "подмодуль" и "подалгебра" сразу выводятся из определений кольца, модуля и алгебры.

Ну и, конечно, я подумал, что полукольцо --- это алгебраический объект, на котором выполнены какие-нибудь определённые аксиомы из списка аксиом кольца. С "полугруппой" и "группой" это так, почему бы с "полукольцом" и "кольцом" не быть тому же самому?

Добавлено спустя 2 минуты 13 секунд:

Taras писал(а):

Дизъюнктность важна. Она используется для доказательства того, что $K_0(S)$ - кольцо.

Вы хотите сказать, что если дизъюнктное объединение заменить на обычное, то кольца не получится? Определите тогда, что такое дизъюнктное объединение.

[lofar]

Насколько я понимаю, общепринято полукольцом называть вот это. Полукольцо как семейство подмножеств, встречал только в отечественной литературе по теори меры. Видимо, такое словоупотребление идет от учебника Колмогорова-Фомина.

[Taras]

Цитата:

Вы хотите сказать, что если дизъюнктное объединение заменить на обычное, то кольца не получится? Определите тогда, что такое дизъюнктное объединение.

Объединение дизъюнктное, если множества, которые мы объединяем не пересекаются.
Не думаю, что получится.
Основная фишка в доказательстве, того что $K_0(S)$ - кольцо: разница двух елементов кольца принадлежит кольцу с помощью следуещей леммы:
S-полукольцо. $B=\bigsqcup\limits_{k=1}^nB_k, B_k \in S,A \in S$, то $ A \cap \bar B =\bigsqcup\limits_{i=1}^mA_i, A_i \in S$(разница множеств не хочет отображаться )
А вот ето доказывается по индукции, где база - определение полукольца, где в свою очередь используется дизъюнктное объединение.
lofar

Цитата:

Насколько я понимаю, общепринято полукольцом называть вот это. Полукольцо как семейство подмножеств, встречал только в отечественной литературе по теори меры. Видимо, такое словоупотребление идет от учебника Колмогорова-Фомина.

Верная догадка! книга Антоневич, Радыно Функан.

[Профессор Снэйп]

Taras писал(а):

Не думаю, что получится.

Напрасно не думаете. Если замените в определении $K_0(S)$ дизъюнктное объединение на обычное, то придёте к тому же самому объекту.

Вообще, дизъюнктное определение --- штука хитрая. Вы вот пишите $A = B \sqcup C$ в случае, когда $A = B \cup C$ и $B \cap C = \varnothing$. Тем самым подразумевая, что $\sqcup$ есть частичная операция, определённая не на всех парах множеств, а только на таких, компоненты которых имеют пустое пересечение. Но, на самом деле, это не самый употребительный смысл значка $\sqcup$. Обычно под $B \sqcup C$ подразумевают объединение $B \cup C'$, где $C' \cap B = \varnothing$ и $|C| = |C'|$; дизъюнктное объединение, таким образом, определяется с точностью до биекции. В связи с этим Ваше $\bigsqcup$ сильно смущает; я бы предпочёл не употреблять его вообще.

[Taras]

Возьмем простое объединение. Как Вы докажите, что разница двух елементов с
$K_0(S)$ лежит там же?

Добавлено спустя 9 минут:

Кажется, дошло.
спасибо!