Достаточные условия экcтpeмума через гpaдиент.

[vpb]

obzhigatel в сообщении #1416594 писал(а):

Видимо я спрашиваю какую-то дичь?)

Дичь не дичь, но разобрать, что написано и нарисовано на картинке и что вам говорил ваш преподаватель, возможности нет. Обычный подход к достаточным условиям экстремума (в т.ч. условного) --- через вторые производные (или еще говорят через второй дифференциал). Читайте книжки. Можете еще посмотреть Сухарев, Тимохов, Федоров, Курс методов оптимизации, самый первый параграф.

[obzhigatel]

Да я понимаю - как через второй диффиеренциал делать, как через окаймленный гессиан. А вот этот способ - не понял)

[ewert]

obzhigatel в сообщении #1416152 писал(а):

Действительно, коллинеарны. А это всегда так будет в стационарных точках градиенты функции и ограничений совпадать?

Конечно. Только не совпадать, а именно коллинеарствовать (ну это уже сказано).

Достаточным это условие, говоря вообще -- не сделать, разумеется. Но вот говоря в частности -- если картинки ясны и недвусмысленны -- вполне можно. Если градиент отклоняется от нормали в противоположные стороны при смещении от стацточки влево-вправо, то это, конечно, экстремум.

Другое дело, что эту очевидность не так просто формализовать на общий случай. Но поскольку вы вроде как экономисты, тог вам общий и не обязателен. Но картинки всё-таки нужны, а у Вас их нет (то, что есть -- не более чем случайный набор линий, причудившийся во сне).

[teleglaz]

obzhigatel в сообщении #1416594 писал(а):

Видимо я спрашиваю какую-то дичь?)

Да, нет, не дичь. Просто не очень хочется погружаться в ранний абстракционизм...
Давайте пойдём от обратного. Вот вам картинка, где $f(x)$ -- целевая функция, $g(x)$ -- функция, задающая ограничение типа равенство. Ответьте на два вопроса:
1. Является ли точка $x^*$ точкой экстремума и почему? И если да, то какого?
2. Является ли точка $\overline{x}$ точкой экстремума и почему? И если да, то какого?

[obzhigatel]

teleglaz в сообщении #1416949 писал(а):

Давайте пойдём от обратного. Вот вам картинка, где $f(x)$ -- целевая функция, $g(x)$ -- функция, задающая ограничение типа равенство. Ответьте на два вопроса:
1. Является ли точка $x^*$ точкой экстремума и почему? И если да, то какого?
2. Является ли точка $\overline{x}$ точкой экстремума и почему? И если да, то какого?

Спасибо. Точка $x*$ будет точкой минимума. Потому как, если попытаться уменьшить целевую функцию в направлении, противоположном $\nabla f$, то $f(x)$ и $g(x)$ не будут иметь общих точек (а так нельзя), а если идти вдоль градиента $f$, то значения целевой функции будут увеличиваться. Во второй точке, можно как увеличить значение целевой функции, если куралесить вдоль градиента, так и уменьшить, если идти в противоположном направлении, при этом будут пересечения с $g(x)$, а значит там нет экстремума!

[teleglaz]

obzhigatel в сообщении #1416960 писал(а):

Точка $x^*$ будет точкой минимума. Потому как, если попытаться уменьшить целевую функцию в направлении, противоположном $\nabla f$

Это не так. Заметьте, на рисунке изображён не градиент $\nabla f$, а антиградиент $-\nabla f$, который направлен в противоположную сторону (ну, захотелось так автору). И обратите внимание на значение функции в данных точках.

[obzhigatel]

teleglaz в сообщении #1416968 писал(а):

Это не так. Заметьте, на рисунке изображён не градиент $\nabla f$, а антиградиент $-\nabla f$, который направлен в противоположную сторону (ну, захотелось так автору). И обратите внимание на значение функции в данных точках.

Да, затупил, точно.
Точка $x*$ будет точкой максимума. Потому как, если попытаться увеличить целевую функцию в направлении $\nabla f$, то $f(x)$ и $g(x)$ не будут иметь общих точек (а так нельзя), а если идти вдоль антиградиента, то значения целевой функции будут уменьшаться.

[teleglaz]

obzhigatel в сообщении #1416980 писал(а):

Точка $x^*$ будет точкой максимума.

Верно. Ну я думаю, если вы теперь перенесёте эту логику на вашу картину, то вопросы снимутся.