Несоизмеримость log и pi

[Tnaidor]

Здравствуйте.

Решаю упражнение по мат. анализу: доказать, что множество $\{\sin(\log_{2017}{n}): n \in \mathbb{N}\}$ всюду плотно на отрезке $[-1, 1]$.

Учитывая монотонность и непрерывность логарифма, я пошел путем применения к остаткам от деления на $2\pi$ принципа Дирихле. Ну и конечно споткнулся на том, что не понимаю как доказать рациональную независимость $2\pi$ и $\log_{2017}{n}, n \in \mathbb{N}$, ведь оно может и циклично делиться, образуя лишь на конечное множество остатков... Очевидно, что это не так для, например, рациональных чисел, но учитывая, что в значениях логарифма будут попадаться иррациональные, это уже неочевидно.

Можете, пожалуйста, подсказать темы, чтобы навело на мысли? Видимо я что-то пропустил, наверное, в теории чисел, но сходу не нашел нужных свойств. Поэтому решил спросить перед тем как браться читать какой-нибудь учебник по элементарной ТЧ.

Спасибо большое!

[Sonic86]

Просто посмотрите на приращения этой функции над $\mathbb{R}$. Или график нарисуйте для первых 10 точек.

Tnaidor в сообщении #1416912 писал(а):

Ну и конечно споткнулся на том, что не понимаю как доказать рациональную независимость $2\pi$ и $\log_{2017}{n}, n \in \mathbb{N}$,

Это сильно более трудно факт и он тут не нужен.

[nnosipov]

На самом деле у этой последовательности есть подпоследовательность, которая уже всюду плотна на отрезке $[-1,1]$. Этот факт (про подпоследовательность) хорошо известен. Пример с последовательностью $\sin{(\ln{n})}$ был бы интереснее в том плане, что для нее подобный трюк не работает.

[Tnaidor]

Спасибо вам за помощь!

Sonic86 в сообщении #1416917 писал(а):

Просто посмотрите на приращения этой функции над $\mathbb{R}$.

Не знаю точно, про какую функцию говорили вы, но действительно навело на мысли - разница значений функции $\log_{2017}{n}$ монотонно убывает и стремится к 0. Следовательно можно показать, что множество остатков $\{ \log_{2017}{n} \mod 2\pi: n \in \mathbb{N}\}$ бесконечно и потом доказать через принцип Дирихле плотность.
Можно и вовсе просто показать, что потому как приращения между остатками бесконечно убывают, то остатки $\log_{2017}{n} \mod 2\pi: n \in \mathbb{N}$ все мельче и мельче "шинкуют" отрезок $[0, 2\pi]$ и потому любая точка будет предельной для функции $\log_{2017}{n} \mod 2\pi$. А в силу биективности $\sin(x)$ образ исходной функции является всюду плотным на $[-1,1]$.

[mihaild]

Tnaidor в сообщении #1416941 писал(а):

Следовательно можно показать, что множество остатков $\{ \log_{2017}{n} \mod 2\pi: n \in \mathbb{N}\}$ бесконечно и потом доказать через принцип Дирихле плотность.

Вот это не получится - вдруг остатки будут иметь вид например $\frac{1}{2} + \frac{1}{n^2}$? Нужна плотность.

Tnaidor в сообщении #1416941 писал(а):

А в силу биективности $\sin(x)$ образ исходной функции является всюду плотным на $[-1,1]$.

Тут еще непрерывнасть важна.

[Tnaidor]

nnosipov в сообщении #1416928 писал(а):

Пример с последовательностью $\sin{(\ln{n})}$ был бы интереснее в том плане, что для нее подобный трюк не работает.

Хм, учитывая, что вроде как идея с монотонным убыванием остатков на эту функцию срабатывает, значит эту идею я не смекнул
Поищу подпоследовательность, спасибо!

mihaild в сообщении #1416943 писал(а):

Тут еще непрерывнасть важна.

Да-да, про это не забываю. (она нам нужна, чтобы в образе $\sin(x)$ "дырок" не было)

mihaild в сообщении #1416943 писал(а):

Вот это не получится - вдруг остатки будут иметь вид например $\frac{1}{2} + \frac{1}{n^2}$? Нужна плотность.

Да, очень хорошее замечание. Я хотел показать, что так как логарифм у нас строго возрастает, то остатки будут осциллировать по $[0, 2\pi]$ и притом с все более мелким шагом, а потому не будет момента, когда все остатки вдруг замкнутся в окрестностях конечного набора точек.

Спасибо!