заковыка с док-вом "тогда и только тогда, когда"

[sqribner48]

Здравствуйте, уважаемые господа
Срочно нуждаюсь в вашей помощи. На днях получил из редакции журнала файл с версткой моей статьи по теории графов. Просили посмотреть и исправить возможные ошибки. (Дали крайний срок для ответа до 29-го сентября, а 26-го я ложусь в больницу на операцию).
Проблема в следующем—редактор написал:

Цитата:

В частности, меня смутили формулировки утверждений (теорем и др.) с оборотом "только тогда, когда". Означают ли они "тогда и только тогда, когда"? Я исправил, но не уверен,
надо внимательно смотреть доказательства.

Вот подправленная редактором теорема

Цитата:

Теорема 3.
Пусть $G_n$~--- МВП-граф с $n$ ($n \geqslant 4$) вершинами и индексом Винера $W(G_n)$. Тогда

$$ W(G_n)\geqslant n^2-3n+3, \eqno(25) $$

причём равенство в (25) выполняется тогда и только тогда , когда МВП-граф $G_n$ имеет диаметр 2.

Доказательтво.
В [7] показано, что для любого связного графа $G_n$ с $n$ вершинами и $m$ рёбрами нижняя граница трансмиссии $\sigma (G_n)$ графа определяется из выражения

$$ \sigma(G_n)\geqslant 2n(n-1)-2m, \eqno(26) $$

причём равенство в (26) имеет место только тогда, когда для диаметра графа выполняется неравенство $\text{diam}(G_n)\leqslant 2$.

Подставляя в (26) значение трансмиссии графа $\sigma(G_n)= 2W(G_n)$ и количество рёбер МВП-графа $m=2n-3$, получим (25).
Равенство в (25) при $n = 4$ выполняется на МВП-графе диамонд $D_4$, при $n = 6$ равенство выполняется на МВП-графе $G_6$, представленном на рис. 1,а. На МВП-графах типа <<веер>> равенство выполняется при любом $n \geqslant 5$.

Здесь и далее термином МВП-граф называется максимальный внешнеплоский граф.
Напомним, что внешнеплоским графом называется плоский граф, все вершины которого принадлежат одной (обычно внешней) грани. Максимальным внешнеплоским графом называется такой внешнеплоский граф, который при добавлении хотя бы одного ребра перестаёт быть внешнеплоским (см., например, Харари Теория графов).
Графом диамонд называется МВП-граф с 4 вершинами и с двумя треугольными гранями, имеющими одно общее ребро (по простому – четырехугольник с диагональю).
МВП-граф $F_n$ типа <<веер>> -- это граф, в котором все вершины простой $(n-1)$ -вершинной цепи $P_{n-1}$ соединены ребром с общей вершиной.
Уважаемые, у меня сейчас голова просто идет кругом. Подскажите, пожалуйста, что нужно доказывать в прямом и обратном направлении.
PS В заключение отмечу, что в источнике, на который я ссылаюсь, вообще нет никаких оборотов типа «только тогда, когда». А в другом источнике по этому вопросу там лишь написано

Цитата:

Theorem 1 ([I7] and [29]). If $G$ has $n$ vertices and $m$ edges (arcs) then
(a) $\sigma(G_n)\geqslant 2n(n-1)-2m$ when $G$ is a graph;
(b) $\sigma(G_n)\geqslant 2n(n-1)-m$ when $G$ is a digraph.
Moreover, the equality occurs if $diam(G) \leqslant 2$.

И все

[Connector]

(Оффтоп)

Я не разбираюсь в теме, но предлагаю начать обсуждение.

sqribner48 в сообщении #1416851 писал(а):

причём равенство в (26) имеет место только тогда, когда для диаметра графа выполняется неравенство

Здесь редактор не трогал? Но это означает, что если диаметр графа больше $2$ , то $\sigma(G_n) > 2n(n-1)-2m$. А значит, в (25) имеем строгое неравенство, равенства нет.
А если диаметр равен $1$ , что происходит с неравенством (26) ? Обращается ли оно в равенство?

...Или Вы уже всё выяснили?

[Munin]

sqribner48 в сообщении #1416851 писал(а):

Дали крайний срок для ответа до 29-го сентября, а 26-го я ложусь в больницу на операцию

В такой ситуации, я полагаю, можно прямо так в редакцию и написать, там могут отнестись с пониманием. (Например, передвинуть статью в следующий номер, чтобы у вас было время для обстоятельного ответа.)

-- 24.09.2019 14:23:31 --

А вот то, что вы публикуете на форуме часть текста посланной в журнал статьи, причём как я понял, вашу оригинальную теорему, а не процитированную из источников, наоборот, может вызвать нарекания редакции.

-- 24.09.2019 14:27:26 --

(Оффтоп)

sqribner48 в сообщении #1416851 писал(а):

диамонд

Обычно diamond в смысле геометрической фигуры передаётся по-русски "ромб", иногда "ромбик". Слово lozenge значит примерно то же самое.

[Sender]

Munin в сообщении #1417078 писал(а):

Обычно diamond в смысле геометрической фигуры передаётся по-русски "ромб", иногда "ромбик". Слово lozenge значит примерно то же самое.

В данном случае слово "ромб" не соответствует описываемому объекту. В русской вики и как минимум в одной статье используется термин "алмаз".

[tolstopuz]

sqribner48 в сообщении #1416851 писал(а):

Moreover, the equality occurs if $diam(G) \leqslant 2$.

Это не "только тогда", а наоборот: если $diam(G) \leqslant 2$, то неравенство превращается в равенство, а если $diam(G) > 2$, то как повезет.

[sqribner48]

Уважаемый Munin

Munin в сообщении #1417078 писал(а):

В такой ситуации, я полагаю, можно прямо так в редакцию и написать, там могут отнестись с пониманием. (Например, передвинуть статью в следующий номер, чтобы у вас было время для обстоятельного ответа.)

Вы не поверите. Но когда я так и написал в редакцию, что ложусь в больницу 26-го сентября, мне прислали верстку журнала за 4-й номер 2019 года с моей статьей и попросили проверить и дать ответ до 29 сентября.

Munin в сообщении #1417078 писал(а):

А вот то, что вы публикуете на форуме часть текста посланной в журнал статьи, причём как я понял, вашу оригинальную теорему, а не процитированную из источников, наоборот, может вызвать нарекания редакции.

Спасибо за совет. Не знал. Учту на будущее. Но ведь это не готовая публикация, а всего лишь черновик одного маленького кусочка из черновика статьи.
Sender

Connector в сообщении #1417062 писал(а):

Я не разбираюсь в теме, но предлагаю начать обсуждение.

Обсуждение уже не нужно. Сегодня я послал ответ в редакцию журнала, в котором указал на все описки и неточности, подлежащие исправлению и ответил на вопросы.
Большое спасибо всем участникам, уделившим внимание моему сообщению.

[Munin]

Нет слов.

Здоровья вам!

[sqribner48]

Уважаемый Munin
Большое спасибо! И Вам желаю того же.

Munin в сообщении #1417158 писал(а):

Нет слов.

А я на редакцию не в обиде. Наоборот, даже рад. Потому, что не нужно ждать и волноваться когда придет верстка.