Скалярное произведение в унитарном пространстве.

[pandemodeus]

vpb в сообщении #1415719 писал(а):

Посмотрел книжки. Действительно, требуется положительная определенность скалярного произведения (как обычно, впрочем). Стало быть, в книжке в этом месте опечатка. Привыкайте, дело обычное. Со вторым же примером непонятно. По моему, там положительная определенность все-таки имеет место. Или Вы можете привести пример, когда $(x,x)\leq0$, $x\ne0$ ?

У меня получилось следующее:

$$(x,x)=5x_1\overline{x_1}+x_2\overline{x_2}+i(x_1\overline{x_2}-x_2\overline{x_1})$$

И мне казалось, что во всех случаях, когда выражение в скобках ненулевое, знак общего выражения не определен, так как число в данном случае получается комплексное.

[nnosipov]

pandemodeus в сообщении #1415739 писал(а):

И мне казалось

Ну, мало ли что может казаться. Взяли бы да поподставляли конкретные значения вместо $x_1$, $x_2$. Своей интуиции на начальных этапах обучения лучше не доверять (она еще не выработалась).

-- Ср сен 18, 2019 23:01:40 --

pandemodeus в сообщении #1415739 писал(а):

так как число в данном случае получается комплексное

Да оно в принципе комплексным быть не может для скалярного квадрата вектора. Наличие мнимой единицы ни о чем в данном случае не говорит.

[pandemodeus]

nnosipov в сообщении #1415744 писал(а):

pandemodeus в сообщении #1415739 писал(а):

И мне казалось

Ну, мало ли что может казаться. Взяли бы да поподставляли конкретные значения вместо $x_1$, $x_2$. Своей интуиции на начальных этапах обучения лучше не доверять (она еще не выработалась).

-- Ср сен 18, 2019 23:01:40 --

pandemodeus в сообщении #1415739 писал(а):

так как число в данном случае получается комплексное

Да оно в принципе комплексным быть не может для скалярного квадрата вектора. Наличие мнимой единицы ни о чем в данном случае не говорит.

Да, действительно, поподставлял числа, получились только положительные вещественные. Как это можно доказать формально?

[nnosipov]

pandemodeus в сообщении #1415750 писал(а):

Как это можно доказать формально?

Самое первое (и самое банальное), что можно предложить --- это "овеществить" ситуацию. Правда, при этом получится квадратичная форма от 4-х (но уже вещественных!) переменных. Если Вы умеете работать с квадратичными формами (например, знаете метод Лагранжа приведения к сумме квадратов или умеете пользоваться критерием Сильвестра), то проблем не будет.

[pandemodeus]

nnosipov в сообщении #1415755 писал(а):

pandemodeus в сообщении #1415750 писал(а):

Как это можно доказать формально?

Самое первое (и самое банальное), что можно предложить --- это "овеществить" ситуацию. Правда, при этом получится квадратичная форма от 4-х (но уже вещественных!) переменных. Если Вы умеете работать с квадратичными формами (например, знаете метод Лагранжа приведения к сумме квадратов или умеете пользоваться критерием Сильвестра), то проблем не будет.

Нет, до них еще не дошел. Тогда вернусь к доказательству, когда изучу. Спасибо за рекомендацию.

-- 18.09.2019, 19:31 --

nnosipov в сообщении #1415744 писал(а):

pandemodeus в сообщении #1415739 писал(а):

И мне казалось

Ну, мало ли что может казаться. Взяли бы да поподставляли конкретные значения вместо $x_1$, $x_2$. Своей интуиции на начальных этапах обучения лучше не доверять (она еще не выработалась).

-- Ср сен 18, 2019 23:01:40 --

pandemodeus в сообщении #1415739 писал(а):

так как число в данном случае получается комплексное

Да оно в принципе комплексным быть не может для скалярного квадрата вектора. Наличие мнимой единицы ни о чем в данном случае не говорит.

Еще вопрос. Вот вы утверждаете, что число не может быть комплексным для квадрата скаляра. Но ведь это только в случае корректного задания скалярного произведения. А здесь задача как раз в том, чтобы исследовать соотношение на корректность. Поэтому, вообще говоря, может быть. Или я не прав?

[nnosipov]

pandemodeus в сообщении #1415759 писал(а):

Тогда вернусь к доказательству, когда изучу.

В принципе, доказать можно и сейчас, если очень хочется (это фактически упражнение из школьной алгебры). Но стратегически лучше нацелиться на изучение теории квадратичных форм (сначала в вещественном, а потом и в комплексном случае).

[pandemodeus]

nnosipov в сообщении #1415761 писал(а):

pandemodeus в сообщении #1415759 писал(а):

Тогда вернусь к доказательству, когда изучу.

В принципе, доказать можно и сейчас, если очень хочется (это фактически упражнение из школьной алгебры). Но стратегически лучше нацелиться на изучение теории квадратичных форм (сначала в вещественном, а потом и в комплексном случае).

Всегда приятно иметь альтернативу)
Подскажите, пожалуйста, с помощью чего доказывается это утверждение?

[nnosipov]

pandemodeus в сообщении #1415759 писал(а):

Или я не прав?

Вообще говоря, Вы правы. В своем утверждении я неявно опирался на то, что в Вашей формуле для скалярного произведения матрица посередине была эрмитово сопряженной, именно это свойство гарантирует вещественность скалярного квадрата. Но если эта матрица была бы произвольной комплексной, то да, скалярный квадрат мог бы принимать даже комплексные значения. С другой стороны, эрмитова сопряженность матрицы --- это необходимое требование к этой конструкции скалярного произведения, ведь мы хотим, чтобы оно было симметричным (коммутативным, как Вы писали выше). Так что здесь мы оба правы

-- Ср сен 18, 2019 23:46:35 --

pandemodeus в сообщении #1415766 писал(а):

Подскажите, пожалуйста, с помощью чего доказывается это утверждение?

Да обычная элементарная алгебра. Пишем $x_1=a_1+b_1i$, $x_2=a_2+b_2i$, подставляем это в полученную Вами формулу для $(x,x)$, упрощаем, смотрим на упрощенное выражение и понимаем, почему оно всегда (за исключением случая $a_1=b_1=a_2=b_2=0$) принимает только положительные значения.

[pandemodeus]

nnosipov в сообщении #1415767 писал(а):

pandemodeus в сообщении #1415759 писал(а):

Или я не прав?

в Вашей формуле для скалярного произведения матрица посередине была эрмитово сопряженной, именно это свойство гарантирует вещественность скалярного квадрата.

Точно! Ведь матрица посередине - это матрица Грама для базисных векторов пространства, а она неэрмитовой быть в принципе не может. Спасибо!

-- 18.09.2019, 20:13 --

nnosipov писал(а):

pandemodeus в сообщении #1415766 писал(а):

Подскажите, пожалуйста, с помощью чего доказывается это утверждение?

Да обычная элементарная алгебра. Пишем $x_1=a_1+b_1i$, $x_2=a_2+b_2i$, подставляем это в полученную Вами формулу для $(x,x)$, упрощаем, смотрим на упрощенное выражение и понимаем, почему оно всегда (за исключением случая $a_1=b_1=a_2=b_2=0$) принимает только положительные значения.

Да, уже разложил и доказал. Еще раз спасибо!

[ewert]

pandemodeus в сообщении #1415653 писал(а):

Определить, можно ли скалярное произведение в V определить формулой:

$$(x,y)=\begin{bmatrix} $x_1$& $x_2$ \\ \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 0& 3+i \\ 3-i& 0 \\ \end{bmatrix}\begin{bmatrix} $\overline{y_1}$ \\ $\overline{y_2}$ \end{bmatrix}$$

Нельзя.

pandemodeus в сообщении #1415671 писал(а):

по версии учебника, такое соотношение также задает скалярное произведение

$$(x,y)=\begin{bmatrix} x_1 & x_2 \\ \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 5&i \\ -i & 1 \\ \end{bmatrix}\begin{bmatrix} \overline{y_1} \\ \overline{y_2} \\ \end{bmatrix}$$

Задаёт.

И вот почему. Эрмитовость матрицы, конечно, требуется безусловно. Но если она есть, то всё упирается в собственные числа -- они должны быть не просто вещественными, но и положительными. Так вот, во втором случае их надо считать (долго -- секунд десять), чтобы убедиться в их положительности. Но в первом даже и считать ничего не надо: они в принципе не могут быть положительными, т.к. в характеристическом уравнении отсутствует линейное слагаемое.