Еще раз о сечении Дедекинда.

[oleg.k]

ewert в сообщении #1416271 писал(а):

Ну уж как минимум с отношением порядка нет никаких проблем -- оно определяется тупо вложенностью классов.

У меня проблемы даже на этом этапе возникли (если рассматривать порядок через вложенность классов).

oleg.k в сообщении #1416076 писал(а):

Рассмотрим сечение $(A, B)$ в области рациональных чисел, где $A = \{x| x < 1\}$, $B = \{x| x \geqslant 1\}$ и сечение $(A', B')$ в области рациональных чисел, где $A' = \{x| x \leqslant 1\}$, $B' = \{x| x > 1\}$. Нетрудно убедится, что это действительно сечения, при том они не являются тождественными.

Числа $(A, B)$ и $(A', B')$ - различные действительные числа (мы же множество всех сечений в $\mathbb{Q}$ рассматриваем). $A \subset A'$ и $A \ne A'$. Поэтому $(A, B) < (A', B')$. Если одно из этих чисел будет единицей, то другое будет либо больше единицы, либо меньше, что не согласуется со здравым смыслом. Для этого и сужают множество сечений до открытых снизу. Или надо менять порядок. Но как?

Я рассматривал вложенность нижних классов, но такой же результат будет и при рассмотрении вложенности верхних классов.

[ewert]

oleg.k в сообщении #1416280 писал(а):

Нетрудно убедится, что это действительно сечения, при том они не являются тождественными.

А вот это уж исключительно вопрос терминологии.

Можно рассматривать их как разные, но эквивалентные (т.е. ввести на множестве сечений отношение эквивалентности).

А можно просто запретить себе рассматривать один из вариантов, как Вы и предлагали.

Те же яйца, только в профиль. Исключительно вопрос вкуса.

[oleg.k]

ewert в сообщении #1416289 писал(а):

Можно рассматривать их как разные, но эквивалентные (т.е. ввести на множестве сечений отношение эквивалентности).

Большое спасибо за подсказку. Постараюсь построить теорию с такой точки зрения. Но уже с первого взгляда видно, что никаких проблем возникнуть не должно.

[mihaild]

oleg.k в сообщении #1416233 писал(а):

А что тогда имеют в виду авторы учебников по матану, когда говорят про "геометрическую модель множества вещественных чисел"?

Надо смотреть на конкретный учебник. Выберите какой-нибудь.

Вообще если брать модель геометрии, то точек может оказаться даже меньше, чем вещественных чисел (геометрия, как теория первого порядка в конечном алфавите, допускающая бесконечную модель, допускает счетную модель; а вещественные числа - нет).

Eugene567 в сообщении #1416235 писал(а):

А длина в геометрии есть?

Если брать непосредственно геометрию, как самостоятельную теорию - то нет. Есть понятие "иметь одинаковую длину", а непосредственно понятия длины нет, т.к. длина - это число, а объектами геометрии являются точки.

[oleg.k]

mihaild в сообщении #1416318 писал(а):

Надо смотреть на конкретный учебник. Выберите какой-нибудь.

Зорич, страницы 62-64.

Зорич писал(а):

а. Числовая ось.По отношению к действительным числам часто используется образный геометрический язык, связанный с тем обстоятельством, что, как в общих чертах известно из школы, в силу аксиом геометрии между точками прямой $\mathbb{L}$ и множеством $\mathbb{R}$ вещественных чисел можно установить взаимно однозначное соответствие $f:\mathbb{L} \to \mathbb{R}$. Причем это соответствие связано с движениями прямой. А именно, если $T$ - параллельный перенос прямой $\mathbb{L}$ по себе, то существует число $t \in \mathbb{R}$ (зависящее только от $T$) такое, что $f(T(x)) = f(x) + t$ для любой точки $t \in \mathbb{L}$

Зорич писал(а):

Прямую $\mathbb{L}$ при наличии указанного соответствия $f:\mathbb{L} \to \mathbb{R}$ называют координатной осью или числовой прямой. Ввиду биективности $f$ само множество $\mathbb{R}$ вещественных чисел также часто называют числовой прямой, а его элементы - точками числовой прямой.

Зорич называет числовой прямой не само множество вещественных чисел, а некоторое множество $\mathbb{L}$, между которым и $\mathbb{R}$ существует биекция. Более того, Зорич упоминает про параллельный перенос - операцию на $\mathbb{L}$, которая является "сложением" на $\mathbb{L}$. Раз есть "сложение", почему бы не определить "умножение" на $\mathbb{L}$. И тогда можно доказать изоморфизм между $\mathbb{L}$ и $\mathbb{R}$ относительно операций поля. С порядком тоже легко. Получим полноценную "геометрическую модель множества вещественных чисел". Вопрос в другом: что это за множество $\mathbb{L}$? Это какая-то модель "одномерной евклидовой геометрии" (не знаю, можно ли так писать, поэтому кавычки), отличная от $\mathbb{R}$ - другой модели "одномерной евклидовой геометрии"?

Собственно ТС мыслит прямую по Зоричу и хочет установить биекцию между $\mathbb{R}$ и $\mathbb{L}$. Вобщем все сводится к тому, как определено множество $\mathbb{L}$.

[Eugene567]

Короче говоря прямая до сих пор дырявая.

[mihaild]

oleg.k в сообщении #1416375 писал(а):

Раз есть "сложение", почему бы не определить "умножение" на $\mathbb{L}$

А как это сделать? Понятно что с нулем отождествим тождественное отображение, а с единицей - какое-нибудь заранее выбранное произвольное. Это даст нам множество $X$ сдвигов, изоморфное $\mathbb{Q}$. Как умножить произвольный сдвиг на рациональное число (и соответствено на элементы $X$) - понятно.
А вот чтобы продолжить это умножение на всё - одних сдвигов не хватит, понадобится в каком-то виде непрерывность (например в виде отношения "лежать между") - потому что у $\mathbb{R}$ существуют нетривиальные автоморфизмы как у векторного пространства над $\mathbb{Q}$, но не существует как у кольца.

oleg.k в сообщении #1416375 писал(а):

Вобщем все сводится к тому, как определено множество $\mathbb{L}$.

У Зорича - никак, это рукомашество для помощи интуиции. И я не знаю о его определениях, не сводящихся к вещественным числам (если определять его как понятно какую часть плоскости, а плоскость - как модель геометрии Тарского, то доказать изоморфизм прямой и множества вещественных чисел даже как групп по сложению не получится).

Eugene567 в сообщении #1416378 писал(а):

Короче говоря прямая до сих пор дырявая.

Короче говоря вы сами не можете сказать, чего хотите.

[oleg.k]

mihaild в сообщении #1416380 писал(а):

У Зорича - никак, это рукомашество для помощи интуиции.

Последний параграф нулевой главы у Фихтенгольца:

Фихтенгольц писал(а):

Таким образом, между всеми вещественными числами и точками направленной прямой (оси) можно установить взаимно однозначное соответствие. Вещественные числа можно изображать точками на оси, которую в связи с этим называют числовой осью. Подобным изображением мы впредь постоянно будем пользоваться.

Эта задача по установлению взаимно однозначного соответствия между точками и числами есть в 2 учебниках по матану из 3. Что с ней делать? Игнорировать, как недостаточно строго сформулированную? Но ведь апеллировать к геометрической наглядности и впрямь полезно (взять хотя бы неравенства с модулем). Что с этим делать? Просто пользоваться, но помнить, что это не модель и доказательной силы у нее нету?

[ewert]

Зорич вообще зря ввязался в эту авантюру -- вышло некоторое жульничество. Он говорит, что "есть же отрезки, несоизмеримые с единичным". И потом говорит, что соответствующей точке отвечает некоторое сечение на $\mathbb Q$, т.е. по аксиоме полноты некое вещественное число, и оно, естественно, иррационально. Всё это здорово, но в обратную-то сторону это ничего не говорит -- ниоткуда не следует, что каждому вещественному числу соответствует точка на прямой. И не может ничего говорить, т.к. ни о каком геометрическом аналоге аксиомы полноты он не упоминает.

У него там есть и другие глюки. Скажем, такое удивительное

Цитата:

Определение 4. Числа вида $m\cdot n^{-1}$, где $m,n\in\mathbb Z$, называются рациональными.

Конечно, можно сказать, что ненулёвость подразумевается, но приличные люди так определения не формулируют. Тем более без необходимости.

Завершает же он этот пункт (про рациональные числа) вообще потрясающе:

Цитата:

Мы показали, таким образом, что две упорядоченные пары $(m_1,n_1)$, $(m_2,n_2)$ задают одно и то же рациональное число тогда и только тогда, когда они пропорциональны, т.е. существует число $k\in\mathbb Z$ такое, что, например, $m_2=km_1$ $n_2=kn_1$.

[oleg.k]

ewert в сообщении #1416383 писал(а):

Скажем, такое удивительное

А я вообще не знаю, какое определение у рациональных чисел Я их понимаю как фактормножество $X/\sim$ множества $X \subset \mathbb{Z}^2$ (где $X$ состоит из всех упорядоченных пар из $\mathbb{Z}^2$, вторая компонента которых отлична от нуля) по отношению эквивалентности $\sim$, которое и представляет собой ту цитату про пропорциональные упорядоченные пары (только с оговоркой, что $k \in \mathbb{Z} \backslash 0$)

[ewert]

В том-то и дело, что там не такое отношение эквивалентности. Начнём с того, что зоричевская "эквивалентность" -- вовсе не эквивалентность (нет транзитивности)...

Зорич ведь не даёт аксиоматического определения рациональных чисел. Он выделяет их как подмножество $\mathbb R$, и здесь всё нормально -- при таком подходе речь идёт не об эквивалентности, а именно о равенстве чисел, описываемых формально по-разному. Но, во-первых, тщательнЕе надо быть с равенствами. А во-вторых: зачем засаживать в знаменатель целые числа и потом мучиться с удалением нуля, когда есть числа натуральные?...

-- Сб сен 21, 2019 18:56:18 --

Да, а насчёт эквивалентности всё банально. Пары $(m_1,n_1)$ и $(m_2,n_2)$ из $\mathbb Z\times\mathbb N$ называются эквивалентными, если $m_1\cdot n_2=m_2\cdot n_1$, вот и всё.

[Sender]

ewert в сообщении #1416383 писал(а):

Всё это здорово, но в обратную-то сторону это ничего не говорит -- ниоткуда не следует, что каждому вещественному числу соответствует точка на прямой. И не может ничего говорить, т.к. ни о каком геометрическом аналоге аксиомы полноты он не упоминает.

Но ведь тот же принцип вложенных отрезков зачастую в явном виде включается в систему аксиом геометрии даже в школьных учебниках.

[oleg.k]

Вот нашел

Зорич писал(а):

С математической точки зрения $\mathbb{R}_A$ и $\mathbb{R}_B$ в таком случае являются всего-навсего различными (совершенно равноправными) реализациями (моделями) действительных чисел (например, $\mathbb{R}_A$ - бесконечные десятичные дроби, $\mathbb{R}_B$ - точки на числовой прямой. Такие реализации называются изоморфными, а отображение $f$ - изоморфизмом. Результаты математической деятельности относятся, таким образом, не к индивидуальной реализации, а к каждой модели из класса изоморфных моделей данной аксиоматики.

Зорич таки считает числовую прямую моделью множества действительных чисел. Если кто-нибудь знает, где подробно, с явным построением операций рассказано про эту модель, поделитесь пожалуйста ссылкой.

Sender в сообщении #1416392 писал(а):

Но ведь тот же принцип вложенных отрезков зачастую в явном виде включается в систему аксиом геометрии даже в школьных учебниках.

У Атанасяна есть такая аксиома:

Атанасян писал(а):

При выбранной единице измерения отрезков длина каждого отрезка выражается положительным числом. Кроме того мы принимаем аксиому существования отрезка данной длины.

Может быть ТС-а это удовлетворит.

[arseniiv]

oleg.k в сообщении #1416394 писал(а):

Зорич таки считает числовую прямую моделью множества действительных чисел.

Тут главное то, что чтобы говорить о модели в строгом смысле этого слова, надо чтобы эта модель была множеством, как-то понятным образом построенным. Когда в начале курса анализа строят $\mathbb R$, оно обычно куда более определено, чем какая-то таинственная прямая.

[ewert]

oleg.k в сообщении #1416394 писал(а):

Кроме того мы принимаем аксиому существования отрезка данной длины.

Это или вообще не аксиома (кем данной, богом?..) -- или не геометрическая.

oleg.k в сообщении #1416394 писал(а):

Зорич таки считает числовую прямую моделью множества действительных чисел. Если кто-нибудь знает, где подробно, с явным построением операций рассказано про эту модель, поделитесь пожалуйста ссылкой.

Он, скорее всего, заблуждается. Дело в том, что аксиома непрерывности для геометрии не так уж и нужна. Тот же принцип вложенных отрезков -- приплести можно (отрезки как-никак, не хухры-мухры), однако непонятно, зачем он для геометрии.