Алгебраический и арифметический смыслы

[Andrey from Mos]

Господа,

часто в литературе встречаю фразу "...сумма в алгебраическом, а не в арифметическом смысле..."
Что это значит? нигде не нашел, чем алгебраическая сумма отличается от арифметической

[Xaositect]

Фраза не нагуглилась, поэтому приведите пример, в каком контексте Вы ее встречали?

[Утундрий]

Выражение написано в алгебраическом смысле, не пытайтесь подставлять в него значения!

[warlock66613]

Иногда подразумевается, что "сумма в арифметическом смысле" - это сумма, которая обладает свойством $a + b > a$, $a + b > b$ (сумма болше любого из слагаемых), в то время как от "суммы в алгебраическом смысле" этого не требуется.

Иногда "сумма в алгебраическом смысле" - это синоним "сумма или разность", то есть не только $a + b$, но и $a - b$.

Это то, что сходу вспомнилось, но могут быть и ещё варианты.

[Xaositect]

warlock66613 в сообщении #1416242 писал(а):

Иногда "сумма в алгебраическом смысле" - это синоним "сумма или разность", то есть не только $a + b$, но и $a - b$.

Это вроде обычно называется "алгебраическая сумма", а не "сумма в алгебраическом смысле".

[Osmiy]

Арифметическая сумма - сумма натуральных чисел.
Алгебраическая сумма - сумма числовых величин (чисел, векторов, матриц, функций и пр.).

[Aritaborian]

Osmiy в сообщении #1416248 писал(а):

Арифметическая сумма - сумма натуральных чисел.

А сумма дробей уже не арифметическая?

Osmiy в сообщении #1416248 писал(а):

Алгебраическая сумма - сумма числовых величин (чисел, векторов, матриц, функций и пр.).

Векторы, матрицы и функции это «числовые величины»?!

[Osmiy]

Aritaborian в сообщении #1416249 писал(а):

А сумма дробей уже не арифметическая?

Получается, что нет.

Aritaborian в сообщении #1416249 писал(а):

Векторы, матрицы и функции это «числовые величины»?!

Не знаю. А какая разница?

[Munin]

Величины в школьной физике называют иногда алгебраическими, в том смысле, что они могут иметь отрицательные значения, с соответствующей осмысленной интерпретацией в физической задаче.

А вот суммы - нет.

Так что, пока ТС не расскажет, где он это слышал, обсуждать нечего.

[Andrey from Mos]

вот этот текст:
https://yadi.sk/i/vFXRnWUUpiiEAA

это Сивухин, раздел Термодинамика. Речь идет про работу и внутреннюю энергию

[Xaositect]

Тут имеется в виду то, что приращение может быть отрицательным, не следует понимать термин "приращение" в том смысле, что внутренняя энергия увеличивается.

[Munin]

Andrey from Mos в сообщении #1416311 писал(а):

вот этот текст

Здесь даже слова "сумма" нет. Только "приращение".

Неужели невдомёк, что чем точнее сообщить свой вопрос, тем осмысленней на него будет получен ответ?.. Сколько чуши было в теме высказано из-за невнятно заданного вопроса.

[Andrey from Mos]

Верно, здесь речь про приращение. Но про сумму тоже где-то видел (не помню в какой книге), поэтому и ошибся. Именно, что не в первый раз встречаю упоминания про алгебраический смысл.
Значит, имеется ввиду, что приращение может быть отрицательным (исходя из написанного).

А в арифметическом смысле приращение обязано бы было быть только положительным (ну или отрицательным, но тогда бы оно называлось уменьшением, например)?

Я посмотрел в Вики на счет понятия алгебра. Там речь про то, что алгебра расширяет понятие арифметики и вводит символьные обозначения. То есть, очевидно, сложение символов ничего не говорит о их знаках. А если бы речь шла про арифметику, то знаки бы надо было писать явно, и тогда вместо суммы могла бы быть разность.
правильно ли я понял?

[Munin]

Andrey from Mos в сообщении #1416326 писал(а):

А в арифметическом смысле приращение обязано бы было быть только положительным

В принципе, такого "смысла" просто не используют. Эти слова "в алгебраическом смысле" - просто напоминание о том, чтобы читатель не воспринимал слова "приращение", "сумма" слишком наивно. Чтобы он автоматически проверил, что он понимает выкладки и в том случае, когда эти величины отрицательные.

Вообще, физики не сильно любят величины, которые должны быть только положительными, но иногда используют. Но в таком случае, они наоборот очень явно и подчёркнуто произносят, что какая-то величина всегда положительна (или неотрицательна, надеюсь, вы знаете разницу). С другой стороны, константы физики любят делать положительными, чтобы не спотыкаться каждый раз на контр-интуитивных моментах, когда приписывание константы к формуле меняет её знак. Центральный (и самый неприятный) пример во всей физике - это "элементарный заряд" $e,$ который положителен, и который хотелось бы назвать зарядом электрона, но на самом деле, заряд электрона отрицателен и равен $-e.$ Дурацкий результат соглашения, выбранного Франклином в 18 веке, задолго до обнаружения электронов в природе. (Франклин при этом молодец, потому что до него вообще положительные и отрицательные заряды назывались "стеклянными" и "смоляными".) Теперь, каждый раз, рассуждая про потоки электронов в проводах, физикам (и инженерам) приходится постоянно "стоять на голове".

-- 21.09.2019 13:21:33 --

Andrey from Mos в сообщении #1416326 писал(а):

Я посмотрел в Вики на счет понятия алгебра.

Ой, это вообще о другом.

[arseniiv]

(Оффтоп)

$F$-алгебра! Скорее тащим её сюда!