Достаточные условия экcтpeмума через гpaдиент.

[obzhigatel]

Добрый день! Не очень понимаю - как определять достаточные условия экстремума функции двух переменных через градиент.

На семинаре разбирали такое задание:

Найти экстремум функции двух переменных.

$f(x,y)=x+6y$ при условии $xy=6$

Как методом Лагранжа нашли точки $A(6;1)$ при $\lambda=-1$ и точку $B(-6;-1)$ при $\lambda=1$ я хорошо понимаю. Но дальше вместо окaймлeннoго Гессиaнa почему-то стали смотреть как там ведет себя градиент $\varphi(x,y)=xy-6$. А дальше нарисовали график $y=\dfrac{6}{x}$, отметили точку $A$, в ней нарисовали градиент $g(x,y)=(1;6)$ и дальше исходя из графика сделали вывод - что точка $A$ - есть точка максимума. Но почему? Как? Нужны детали. Хочу разобраться! Помогите, пожалуйста, разобраться - как?
Там, если градиент начать двигать, то все якобы становится понятным. Но не мне, хочется разобраться. Да, я понимаю, что грaдиeнт показывает направление нaискoрейшего роста, но как это помогает определить - есть ли экстремум или нет?
-- 19.09.2019, 22:44 --

(Оффтоп)

https://i.imgur.com/00jTqsr.png

-- 19.09.2019, 22:47 --

Дальше нарисовали несколько картинок, по которым также сказали - как определять - максимум или минимум с помощью градиента. Мне показалось это очень странным, можно ли как-то это объяснить?

-- 19.09.2019, 22:49 --

(Оффтоп)

https://i.imgur.com/EGnSNqW.png

[vpb]

Позвольте полюбопытствовать, по какому учебнику учитесь (учат вас), и в рамках какого курса (высшая математика, матан, оптимизация) вопрос ?

[obzhigatel]

vpb в сообщении #1416111 писал(а):

Позвольте полюбопытствовать, по какому учебнику учитесь (учат вас), и в рамках какого курса (высшая математика, матан, оптимизация) вопрос ?

1 курс, Матанализ (экономическое направление). Я читал Фихтенгольца, Зорича, Письменного, но что-то там не нашел такой информации. Хотелось бы узнать - где про это можно почитать! У семинариста спросить - не вариант, потому как уехал на 3 недели, а с одногруппниками особо контактов наладить не удалось!

[vpb]

Письменного вообще читать не надо. В Фихтенгольце есть несомненно, только в устаревших обозначениях и манере; гл. 6, параграф 3. В Зориче сейчас посмотрю. Вот: гл.8, пар.7 (т.е. самый последний параграф первого тома). Но в Зориче оно изложено довольно научно-абстрактно. А в Письменном соответствующего материала (теория условного экстремума) и вообще нет, кстати.

И что-то непонятно. Сентябрь первого курса --- не рановато ли для условного экстремума ? Какие-то новые веяния... А какой, совсем уж любопытно, вуз, факультет ?

[teleglaz]

obzhigatel в сообщении #1416106 писал(а):

$A$ - есть точка максимума

Это не так.
Я не очень вдавался в ваши художества, но одно разобрал точно. Если бОльшие значения есть, а меньших нет, то это точно не максимум (раз уж есть значения ещё больше).

[obzhigatel]

vpb в сообщении #1416120 писал(а):

В Фихтенгольце есть несомненно, только в устаревших обозначениях и манере; гл. 6, параграф 3. В Зориче сейчас посмотрю. Вот: гл.8, пар.7 (т.е. самый последний параграф первого тома)

Там нет про достаточные условия экстремума функции нескольких переменных через гpaдиенты! А так, я в целом, если не брать грaдиенты (не понятно откуда материализовавшиеся в достаточных условиях, все понимаю.

-- 20.09.2019, 00:47 --

vpb в сообщении #1416120 писал(а):

Сентябрь первого курса --- не рановато ли для условного экстремума ?

Это просто пересдача за 1 курс=) Некорректно выразился.

И конкретней сформулирую вопрос: где можно почитать про обоснование достаточных условий экстремума функции нескольких переменных через гpaдиенты?)

[Brukvalub]

obzhigatel в сообщении #1416130 писал(а):

где можно почитать про обоснование достаточных условий экстремума функции нескольких переменных через гpaдиенты?)

Над этим условием брЕтанские учОные еще только работают, нужно немного подождать.

[alcoholist]

obzhigatel
Конечно, $A$ -- точка локального минимума.

-- Пт сен 20, 2019 11:17:11 --

В точке $A$ градиенты функции и ограничения коллинеарны. Но смотреть надо, конечно, на градиент функции (ведь можно было взять ограничение в виде $\varphi(x,y)=6-xy$, от этого ничего не должно меняться). Касательная к гиперболе в точке $A$ -- экстремальный уровень функции. При сдвиге касательной в направлении противоположном градиенту она перестает пересекаться с допустимым множеством $xy=6$, поэтому $A$ -- точка минимума.

[obzhigatel]

Brukvalub в сообщении #1416133 писал(а):

Над этим условием брЕтанские учОные еще только работают, нужно немного подождать.

Спасибо! То есть это немного похоже на ересь?)
2 страницы с этой задачей по ссылке https://imgur.com/a/FpbcoLl для полноты картины (первую страницу не загружал еще). Мне вот интересно - идея здесь здравая в таком решении или нет?)

-- 20.09.2019, 11:23 --

alcoholist в сообщении #1416151 писал(а):

Но смотреть надо, конечно, на градиент функции (ведь можно было взять ограничение в виде $\varphi(x,y)=6-xy$, от этого ничего не должно меняться).

Градиент функции в данном случае постоянный! $\operatorname{grad}u(x,y) =(1;6)$
Спасибо! Градиент $\operatorname{grad}\varphi =(-y;-x)$, а $\operatorname{\grad}\varphi (A) =(-1;-6)$
Действительно, коллинеарны. А это всегда так будет в стационарных точках градиенты функции и ограничений совпадать?

-- 20.09.2019, 11:27 --

alcoholist в сообщении #1416151 писал(а):

Касательная к гиперболе в точке $A$ -- экстремальный уровень функции. При сдвиге касательной в направлении противоположном градиенту она перестает пересекаться с допустимым множеством $xy=6$

Это я понимаю, спасибо, но как из этого следует, что

alcoholist в сообщении #1416151 писал(а):

поэтому $A$ -- точка минимума.

? Вот это самый большой вопрос, с которым хотелось бы разобраться. Ведь это ведь всего лишь ограничение, сама функция ведь не учитывается...

[alcoholist]

obzhigatel в сообщении #1416152 писал(а):

Действительно, коллинеарны. А это всегда так будет в стационарных точках градиенты функции и ограничений совпадать?

За исключением точек негладкости должно быть всегда. Просто потому, что отрезок наименьшей длины от точки до кривой всегда перпендикулярен касательной.

-- Пт сен 20, 2019 11:37:05 --

obzhigatel в сообщении #1416152 писал(а):

Градиент функции в данном случае постоянный! $\operatorname{\grad}u(x,y) =(1;6)$

нам важен градиент в данной точке, а какой он где-то еще пока не важно.

-- Пт сен 20, 2019 11:38:11 --

obzhigatel в сообщении #1416152 писал(а):

Ведь это ведь всего лишь ограничение, сама функция ведь не учитывается

про коллинеарность выше сказали

-- Пт сен 20, 2019 11:39:41 --

obzhigatel в сообщении #1416152 писал(а):

как из этого следует, что

движемся в сторону уменьшения функции -- съезжаем с допустимого множества $xy=6$, поэтому локально на множестве $xy=6$ функция меньших значений не принимает

[obzhigatel]

Спасибо!

alcoholist в сообщении #1416153 писал(а):

отрезок наименьшей длины от точки до кривой

А зачем проводить отрезок от точки до кривой?

alcoholist в сообщении #1416153 писал(а):

нам важен градиент в данной точке, а какой он где-то еще пока не важно.

alcoholist в сообщении #1416153 писал(а):

про коллинеарность выше сказали

Спасибо, это понял!

А на этой картинке тогда, если стрелка показывает градиент, то максимум и минимум перепутаны также?

[Brukvalub]

obzhigatel в сообщении #1416152 писал(а):

Brukvalub в сообщении #1416133

писал(а):
Над этим условием брЕтанские учОные еще только работают, нужно немного подождать.
Спасибо! То есть это немного похоже на ересь?)

На мой взгляд - образцовая ересь!
1. Есть стандартное несложно проверяемое достаточное условие условного локального экстремума в терминах знакоопределенности в стац. точках второго дифференциала функции Лагранжа.
2. В простых случаях картиночки с градиентами излишни, поскольку все решается "на коленке" исключением переменных.
3. В сложных случаях картинку и не нарисуешь, духу не хватит.

[obzhigatel]

Brukvalub в сообщении #1416188 писал(а):

На мой взгляд - образцовая ересь!

Согласен, но преподаватель считает, что мы должны именно через градиенты делать, но никак не через второй дифференциал.
Видимо гвоздь удобнее забивать кулаком, а не молотком!

[obzhigatel]

Подскажите, пожалуйста, на этой картинке максимум и минимум перепутаны также? (вектором показан градиент функции двух переменных).
Или недостаточно информации, чтобы сказать точно?

[obzhigatel]

Видимо я спрашиваю какую-то дичь?)