аппроксимация многомерных функций

[arseniiv]

granit201z в сообщении #1415655 писал(а):

Тем не менее это тоже очень интересно

Отсюда можно начать, там есть ссылки:
Теорема Колмогорова — Арнольда

[Утундрий]

arseniiv в сообщении #1415679 писал(а):

Отсюда можно начать, там есть ссылки:
Теорема Колмогорова — Арнольда

Уже отсюда, кстати, видно, что DeBill не прав, утверждая

DeBill в сообщении #1415600 писал(а):

Именно, Колмогоров-Арнольд показали, что непрерывная функция трех (а тогда и 100) переменных всегда выражается через непрерывные функции ДВУХ переменных (но - не ОДНОЙ).

[arseniiv]

По крайней мере одной — действительно недостаточно, потому что сложение бинарное. Если считать, что сложение нам дано, тогда одной, но если считать, что мы можем пользоваться лишь композицией — тогда одной мало.

[Утундрий]

Одной в любом случае мало. Существенно, что для аппроксимации достаточно конечного числа функций одной переменной (а не двух).

[Xaositect]

Ну вообще-то сложение - это композиция функций сложения двух переменных.

[Утундрий]

Ок, любую действительную непрерывную ограниченную функцию, определённую в $n$-мерном кубе, можно выразить в виде конечной композиции конечного числа действительных непрерывных ограниченных функций, заданных на вещественной прямой (являющейся архимедовым пополнением рациональных чисел, единственным в силу теоремы Островского) и одной функции двух переменных, канонически изоморфной стандартной бинарной операции, известной в просторечии как "сложение" (подробнеё об удивительных свойствах сложения см. <123 именования источников>).

P.S. Кого не затошнило, тот математик.

P.P.S. С практической точки зрения ситуация выглядит так. Имеются некие волшебные кривульки, табулируя и нещадно интерполируя которые можно сэкономить овер дофига оперативной памяти. Правда никто не знает как эти кривульки строить.

[arseniiv]

Утундрий в сообщении #1415697 писал(а):

и одной функции двух переменных, канонически изоморфной стандартной бинарной операции

Зачем, просто равной. Бинарная операция — это функция двух аргументов, которые, и результат, берутся из одного и того же множества.

-- Ср сен 18, 2019 19:43:59 --

Кстати говоря есть отдалённо похожая задача разложения тензора на разложимые слагаемые (вида $v_1\otimes\ldots\otimes v_n$, она в эти времена довольно важна.

[DeBill]

Утундрий в сообщении #1415697 писал(а):

С практической точки зрения ситуация выглядит так. Имеются некие волшебные кривульки, табулируя и нещадно интерполируя которые можно сэкономить овер дофига оперативной памяти.

Не, экономии не будет. Это видно на примере "перемешивания" ТС: для локализации точки в единичном квадрате с точностью $2^{-n}$, потребуется $2n$ бит (два слова (из нулей и единиц) длины $n$- по слову на каждую координату). Для восстановления исходной точки с той точностью, "перемешанное" число придется считать с удвоенной точностью, что потребует те же $2n$ бит...

[Утундрий]

DeBill
Посмотрим на проблему с такой точки зрения. Нужно с некоторой долей небрежности раскинуть некую $\epsilon$-сеть на $n$-мерный куб. В напрашивающемся декартовом подходе имеем $N^n$ узлов, где $N$ - число узлов по измерению. И тут приходят Арнольд с Колмогоровым и говорят: мене мене текел упарсин достаточно одной таблэтки $100 N$ узлов! И как-то мне почему-то кажется, что выигрыш есть.

[Brukvalub]

Утундрий в сообщении #1416032 писал(а):

И тут приходят Арнольд с Колмогоровым и говорят: мене мене текел упарсин достаточно одной таблэтки $100 N$ узлов! И как-то мне почему-то кажется, что выигрыш есть.

Вот только они забыли рассказать, как превратить теорему существования в реально работающий алгоритм. Наверное, выигрышем делиться не захотели.

[Утундрий]

Утундрий в сообщении #1415697 писал(а):

Правда никто не знает как эти кривульки строить.