Теорема Миллса

[muspellsson]

Добрый день всем участникам форума!

Теорема Миллса в теории чисел утверждает о существовании такого действительного числа $A$, что для всех натуральных $n$ значение $\left\lfloor A^{(3^n)}\right\rfloor$ является простым числом. Значение $A$ было вычислено с некоторой точностью (в предположении справедливости гипотезы Римана).

Оригинальная статья Миллса занимает всего одну страницу и использует только элементарные методы. Однако, один момент в ней кажется мне довольно непонятным. Приведу основные утверждения из статьи, позволяющие мне задать конкретный вопрос:

1. Существует такое, достаточно большое простое число $P_0$, что мы можем построить бесконечную последовательность простых чисел $P_n^3 < P_{n+1} < (P_n + 1)^3 - 1$. Доказательство этого факта приведено в статье и оно, в общем-то, простое (но основывается на результате Ингама).
2. Определена последовательность $u_n = P_n^{(3-n)}$.
3. Последовательность ${u_n}$ монотонно возрастает.

Третье утверждение автор выводит из неравенства $P_{n+1}^{3-n-1} > P_n^{3-n}$, которое, конечно, справедливо для первых трех членов ${u_n}$, но уже четвертый член равен единице, а пятый — очевидно меньше единицы.

Может быть, у нас с автором разные понятия о "монотонно возрастающей последовательности", или я просто глуплю и не вижу какой-то банальной вещи?

[12d3]

Должно быть $\displaystyle u_n = P_n^{3^{-n}}$ и $\displaystyle v_n = \left(P_n+1\right)^{3^{-n}}$. Тогда вроде всё сходится.

[muspellsson]

Да, Вы абсолютно правы, и это выглядит более чем логично. Остается открытым вопрос, почему такая опечатка осталась в статье. Может быть, конечно, автор предполагал, что все, кому надо, и так поймут, о чем речь, но это наивное предположение.

Признаюсь, я даже хотел уровень к монитору приложить, но там и так видно, что $3$ и $n$ находятся на одной высоте